Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль): вероятность

Задание 4 профильного ЕГЭ по математике — это классическая вероятность. Вам дают житейскую ситуацию (билеты на экзамене, бракованные изделия, жребий в соревнованиях, бросок монеты) и просят найти вероятность некоторого события. Ответ — число от 0 до 1, чаще всего десятичная дробь, которое записывается в бланк. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». Хорошая новость: большинство заданий 4 решается одной формулой $P = \dfrac{m}{n}$ — нужно лишь аккуратно посчитать число благоприятных исходов и общее число исходов. В статье — что именно проверяют, главная формула с пояснениями, все типы задач, пошаговый алгоритм, разбор пяти реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 4 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 4

Задание проверяет умение работать с понятием вероятности случайного события: выделить опыт, сосчитать исходы и применить классическое определение вероятности. Что нужно уметь:

Как выглядит формулировка

ФИПИ описывает житейскую ситуацию и просит «найдите вероятность того, что…». За простой формулировкой всегда стоит классический опыт с равновозможными исходами. Примеры:

Что нужно знать

Почти всё задание 4 держится на одной формуле — классическом определении вероятности. К ней добавляются свойство противоположного события и понимание независимых испытаний. Этого хватает на подавляющее большинство задач.

Классическое определение вероятности

Если все исходы опыта равновозможны, то вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$$P(A) = \frac{m}{n}$$

Вероятность всегда лежит между 0 и 1: $0 \le P(A) \le 1$. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1. Если в ответе получилось число больше единицы — где-то ошибка в подсчёте исходов.

Монета и жребий: несколько испытаний

Когда монету бросают (или жребий тянут) $n$ раз, у каждого броска два равновероятных исхода, а всего комбинаций:

$$N = 2^n$$

Все $2^n$ комбинаций равновозможны. Дальше работает то же классическое определение: считаем, сколько комбинаций благоприятны, и делим на $2^n$. Для трёх бросков $2^3 = 8$ исходов:

Основные типы заданий 4

В банке ФИПИ задание 4 встречается в нескольких устойчивых «обёртках». Узнав тип, вы сразу понимаете, что считать:

Алгоритм решения задания 4

1. Опишите опыт и событие. Что именно происходит случайно (вытянули билет, бросили монету, тянут жребий) и вероятность какого события ищем.
2. Сосчитайте общее число исходов $n$. Сколько всего билетов, изделий, участников; для нескольких бросков — $2^n$.
3. Сосчитайте благоприятные исходы $m$. Сколько вариантов подходят под условие. Если есть «не» — иногда проще посчитать противоположное.
4. Поделите и упростите: $P = m/n$. Сократите дробь и переведите в десятичную.
5. Проверьте и округлите. Вероятность обязана быть в промежутке от 0 до 1. Округляйте ровно с той точностью, которую просят в условии.

Примеры с разбором

Пример 1. Прямой подсчёт $m/n$

Пример 2. Событие со словом «не»

Пример 3. Очередь и жребий

Пример 4. Монета/жребий несколько раз

Пример 5. Вложенные события

Решение:

«Прослужит более 1 года» включает в себя «более 2 лет» — это вложенные события. Промежуток «от 1 до 2 лет» — это разность:

$$P = 0{,}94 - 0{,}87 = 0{,}07$$

Ответ: 0,07. Удобно представить числовую прямую: из «большого» куска (более 1 года) вырезаем «маленький» (более 2 лет) — остаётся искомый промежуток.

Типичные ошибки и ловушки

Чем задание 4 связано с заданием 5

Задание 4 — это «фундамент» теории вероятностей: один опыт и классическое определение $P = m/n$. В задании 5 к нему добавляются теоремы о вероятностях: сложение вероятностей несовместных событий, умножение вероятностей независимых событий и формула полной вероятности. По сути это надстройка над тем же понятием вероятности — поэтому, прочно закрыв задание 4, вы готовите почву и для задания 5. Логика «считаем исходы / переходим к противоположному событию» работает в обоих заданиях.

План подготовки на неделю

Дни 1–3 — формула и типы

Выпишите на карточку три вещи: $P = m/n$, $P(\bar A) = 1 - P(A)$ и $N = 2^n$ для нескольких бросков. Каждый день решайте по 8–10 заданий одного типа: сначала «прямой подсчёт», потом «событие со словом не», потом «очередь/жребий». Цель — мгновенно узнавать тип по формулировке.

Дни 4–7 — вперемешку и аккуратность

Добавьте задачи с монетой и вложенными событиями, решайте всё вперемешку, не больше 3 минут на каждое. Отдельно отрабатывайте округление и проверку $0 \le P \le 1$ — именно на этом теряют лёгкий балл. После каждой серии разбирайте ошибки на Repet.ai.