Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль): вероятность

Задание проверяет умение работать с понятием вероятности случайного события: выделить опыт, сосчитать исходы и применить классическое определение вероятности. Что нужно уметь:

ФИПИ описывает житейскую ситуацию и просит «найдите вероятность того, что…». За простой формулировкой всегда стоит классический опыт с равновозможными исходами. Примеры:

Почти всё задание 4 держится на одной формуле — классическом определении вероятности. К ней добавляются свойство противоположного события и понимание независимых испытаний. Этого хватает на подавляющее большинство задач.

Классическое определение вероятности

Если все исходы опыта равновозможны, то вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$$P(A) = \frac{m}{n}$$

Вероятность всегда лежит между 0 и 1: $0 \le P(A) \le 1$. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1. Если в ответе получилось число больше единицы — где-то ошибка в подсчёте исходов.

Монета и жребий: несколько испытаний

Когда монету бросают (или жребий тянут) $n$ раз, у каждого броска два равновероятных исхода, а всего комбинаций:

$$N = 2^n$$

Все $2^n$ комбинаций равновозможны. Дальше работает то же классическое определение: считаем, сколько комбинаций благоприятны, и делим на $2^n$. Для трёх бросков $2^3 = 8$ исходов:

В банке ФИПИ задание 4 встречается в нескольких устойчивых «обёртках». Узнав тип, вы сразу понимаете, что считать:

• Прямой подсчёт $m/n$

  Билеты с нужной темой, бракованные изделия, спортсмены из определённой страны. Считаем благоприятные и общее число — делим.

• Событие со словом «не»

  «Без дефектов», «не достанется вопрос». Удобно через $1 - P(A)$ или прямым подсчётом «хороших» исходов $(n - k)/n$.

• Очередь и жребий

  «Выступает первым/последним», «полетит первым рейсом». Из-за симметрии жребия вероятность не зависит от номера места: $P = k/n$.

• Монета/жребий несколько раз

  «Начнёт с мячом только во второй игре». Перебираем все $2^n$ исходов и считаем благоприятные.

• Вложенные события («больше/меньше»)

  «Прослужит более 1 года, но менее 2». Промежуток — это разность: $P(\text{больше } a) - P(\text{больше } b)$.

1. Опишите опыт и событие. Что именно происходит случайно (вытянули билет, бросили монету, тянут жребий) и вероятность какого события ищем.
2. Сосчитайте общее число исходов $n$. Сколько всего билетов, изделий, участников; для нескольких бросков — $2^n$.
3. Сосчитайте благоприятные исходы $m$. Сколько вариантов подходят под условие. Если есть «не» — иногда проще посчитать противоположное.
4. Поделите и упростите: $P = m/n$. Сократите дробь и переведите в десятичную.
5. Проверьте и округлите. Вероятность обязана быть в промежутке от 0 до 1. Округляйте ровно с той точностью, которую просят в условии.

• Неверное округление

  Самая частая потеря балла. Округляйте ровно так, как просят: получилось $0{,}0625$ — а в условии «до сотых» — пишите $0{,}06$. И наоборот, не округляйте, если число и так конечное.

• Перепутать благоприятные и общие исходы

  В числителе — то, вероятность чего ищем; в знаменателе — всё множество. Если в задаче есть «не», легко взять в числитель не ту группу.

• Забыть найти «остаток»

  «Остальные — из Китая/Канады»: сначала вычтите известные группы из общего числа, и только потом считайте вероятность. Иначе в числителе окажется не то число.

• Ответ больше единицы

  Вероятность не может быть больше 1 или отрицательной. Получилось $1{,}2$ или минус — значит, перепутаны числитель и знаменатель или допущена арифметическая ошибка.

• Слово «только» в задачах с монетой

  «Начнёт только вторую игру» — значит, в остальных играх не начинает. Это сужает число благоприятных исходов до одного, а не «хотя бы один раз».

Задание 4 — это «фундамент» теории вероятностей: один опыт и классическое определение $P = m/n$. В задании 5 к нему добавляются теоремы о вероятностях: сложение вероятностей несовместных событий, умножение вероятностей независимых событий и формула полной вероятности. По сути это надстройка над тем же понятием вероятности — поэтому, прочно закрыв задание 4, вы готовите почву и для задания 5. Логика «считаем исходы / переходим к противоположному событию» работает в обоих заданиях.