Задание 8 ЕГЭ по математике (профиль): производная и первообразная

Задание 8 профильного ЕГЭ по математике — это производная и первообразная, и почти всегда — по графику. По графику $y=f'(x)$ нужно найти точки максимума и минимума функции $f(x)$ или промежутки возрастания; по графику $y=f(x)$ — определить, в каких точках производная положительна; по графику с касательной — найти $f'(x_0)$ как её угловой коэффициент. Вычислений почти нет — всё держится на двух связках: знак производной задаёт возрастание/убывание, а значение производной — это наклон касательной. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». В статье — что проверяют, как читать график производной, пошаговый алгоритм, разбор реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 8 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 8

Задание проверяет понимание смысла производной — без громоздких вычислений, но с умением «читать» график. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

связывать знак $f'(x)$ с возрастанием и убыванием $f(x)$ ;
находить точки максимума и минимума по графику производной (смена знака);
понимать геометрический смысл: $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной;
понимать физический смысл: производная пути — это скорость;
связывать функцию и её первообразную ( $F'(x)=f(x)$ ).

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Производная и первообразная (графики функции и производной, касательная)
Рекомендуемое время	2–4 минуты
Связанные задания	11 (графики функций), 12 (наибольшее и наименьшее значение)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 8 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 8

Как выглядит формулировка

ФИПИ обычно даёт график и короткий вопрос. Самые частые формулировки:

«На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ . Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке …».
«На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ . В скольких из отмеченных точек производная положительна?».
«На рисунке изображены график $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной $f'(x_0)$ ».

Что нужно знать

Весь банк задания 8 закрывают три идеи: знак производной, её геометрический смысл и связь с первообразной. Разберём каждую.

Знак производной и поведение функции

Главная связка задания 8:

f'(x)>0 \;\Rightarrow\; f \text{ возрастает}, \qquad f'(x)<0 \;\Rightarrow\; f \text{ убывает}

В точке, где $f'(x)$ обращается в ноль и меняет знак, у функции $f$ экстремум:

смена с $+$ на $-$ — точка максимума;
смена с $-$ на $+$ — точка минимума.

Поэтому по графику $y=f'(x)$ экстремумы $f$ ищут там, где график производной пересекает ось абсцисс, а не там, где у него свои вершины.

График производной f'(x): где f'>0 функция возрастает, где f'<0 убывает, в нулях со сменой знака — экстремумы — Знак f'(x) задаёт поведение f(x): f'>0 — возрастание, f'<0 — убывание, смена знака — экстремум

Геометрический смысл: касательная

Значение производной в точке — это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в этой точке:

f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Чтобы найти $f'(x_0)$ по картинке, выберите на касательной две точки в узлах сетки и посчитайте $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — «на сколько поднялись» делим «на сколько прошли вправо». Если касательная убывает, коэффициент отрицательный.

Касательная к графику функции: её угловой коэффициент k равен значению производной f'(x0) — f'(x₀) = tg α = k — угловой коэффициент касательной в точке касания

Первообразная и физический смысл

Функция $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ , если $F'(x)=f(x)$ . Значит, всё «наоборот»: знак $f$ задаёт возрастание/убывание $F$ , а нули $f$ со сменой знака — экстремумы $F$ .

Физический смысл: если $x(t)$ — закон движения (путь), то скорость — это производная:

v(t)=x'(t),\qquad a(t)=v'(t)

Для многочленов производную берут по правилу $(t^{n})'=n\,t^{n-1}$ : например, $\left(\tfrac{1}{2}t^{2}\right)'=t$ , $(4t)'=4$ , $(\text{const})'=0$ .

Основные типы заданий 8

В банке ФИПИ задание 8 распадается на несколько устойчивых типов. Узнав, что именно изображено — $f(x)$ или $f'(x)$ — вы сразу знаете, что делать:

Дан график $f'(x)$

Ищем точки экстремума $f$ (нули со сменой знака) или промежутки монотонности.

Дан график $f(x)$ с отмеченными точками

Считаем точки, где $f'>0$ (функция возрастает) или $f'<0$ (убывает).

График и касательная

Находим $f'(x_0)$ как угловой коэффициент $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Первообразная и физический смысл

Дан график $F(x)$ либо закон движения $x(t)$ ; считаем производную.

Алгоритм решения задания 8

Прочитайте, что изображено. Важнейший шаг: $y=f(x)$ или $y=f'(x)$ ? Перепутать график функции и график производной — самая частая ошибка.
Выберите нужную связку. Дан $f'(x)$ — экстремумы там, где график пересекает ось; дан $f(x)$ — знак производной совпадает с направлением графика (вверх/вниз); касательная — считаем наклон.
Отметьте нужные точки на заданном отрезке. Следите за границами интервала из условия и направлением смены знака ( $+\to-$ для максимума, $-\to+$ для минимума).
Посчитайте или вычислите значение. Для касательной $f'(x_0)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ по узлам сетки; для движения — производная закона.
Запишите ответ. Целое число или конечная десятичная дробь; дробь через запятую, знак минуса не теряйте.

Путаете график функции и график производной?

Прорешайте подряд десяток заданий «дан f′» и десяток «дан f» — и связки «знак производной → монотонность», «нуль производной → экстремум» закрепятся намертво. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Точка максимума по графику производной

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-5;5)$ . Найдите точку максимума функции $f(x)$ .

График y=f'(x) на интервале (−5; 5): производная положительна, затем при x=2 меняет знак с плюса на минус — Реальное задание ФИПИ: график производной y=f'(x) на интервале (−5; 5)

Решение:

Перед нами график производной. Точка максимума $f$ — там, где $f'(x)$ пересекает ось, меняя знак с $+$ на $-$ . По графику $f'(x)>0$ на промежутке $(-4;2)$ (функция $f$ возрастает) и $f'(x)<0$ на $(2;5)$ ( $f$ убывает).

Значит, в точке $x=2$ производная меняет знак с $+$ на $-$ — это и есть точка максимума. Ответ: 2. В точке $x=-4$ знак меняется с $-$ на $+$ — там минимум, его не записываем.

Пример 2. Где производная положительна (дан график функции)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ . На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

График функции y=f(x) и десять отмеченных точек x1…x10 на оси абсцисс — Реальное задание ФИПИ: график функции y=f(x) и десять отмеченных точек

Решение:

Здесь изображён сам график функции. $f'(x)>0$ там, где функция возрастает — то есть график в этой точке идёт вверх слева направо. Проходим по всем десяти отмеченным точкам и отмечаем только те, что лежат на возрастающих (поднимающихся) участках графика.

Таких точек оказывается пять. Ответ: 5. В остальных точках график идёт вниз — там $f'(x)<0$ , и они не считаются.

Пример 3. Производная по касательной

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

График функции y=f(x) и убывающая касательная к нему в точке с абсциссой x0 — Реальное задание ФИПИ: график функции y=f(x) и касательная в точке x₀

Решение:

$f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной. Берём на прямой две точки в узлах сетки — $(-3;\,3)$ и $(-1;-2)$ — и считаем отношение приращений: при сдвиге вправо на $\Delta x=2$ прямая опускается на $\Delta y=-5$ :

f'(x_0)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-5}{2}=-2{,}5

Ответ: −2,5. Касательная убывает, поэтому коэффициент отрицательный — знак минуса обязателен.

Пример 4. Физический смысл производной

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}+4t+27$ , где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=2$ с.

Решение:

Скорость — это производная пути: $v(t)=x'(t)$ . Дифференцируем по правилу $(t^n)'=n\,t^{n-1}$ :

v(t)=\left(\tfrac{1}{2}t^{2}+4t+27\right)'=t+4

Подставляем $t=2$ : $v(2)=2+4=6$ . Ответ: 6.

Типичные ошибки и ловушки

Перепутать график $f$ и график $f'$

Всегда читайте подпись к рисунку. Если дан $f'(x)$ , экстремумы ищут по пересечению оси, а не по вершинам графика; если дан $f(x)$ — по подъёмам и спускам самого графика.

Считать максимумы там, где у $f'$ вершина

Вершина графика производной — это не экстремум функции. Экстремум $f$ только там, где $f'(x)=0$ и меняет знак.

Перепутать максимум и минимум

Смена знака $+\to-$ — это максимум, $-\to+$ — минимум. Перечитайте, что именно спрашивают.

Забыть про границы отрезка

Точки считают только на указанном отрезке (например, $[-6;6]$ ), а не на всём интервале определения функции.

Потерять знак углового коэффициента

Если касательная убывает, $f'(x_0)<0$ . Считая $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , не забывайте, что $\Delta y$ отрицательно.

Чем задание 8 связано с другими

Задание 8 — это фундамент анализа функций. Та же производная в полном объёме работает в задании 12, где нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции либо её точку экстремума уже не по графику, а по формуле. А чтение графиков перекликается с заданием 11 (графики функций). Освоив задание 8, вы закрываете гарантированный балл и одновременно готовите технику для более сложных заданий с исследованием функции.

Задание 7: вычисления и преобразования Решать задание 8 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–4 — по типу графика в день

День 1 — задания, где дан график $f'(x)$ (точки экстремума, промежутки монотонности). День 2 — дан график $f(x)$ (где $f'>0$ или $f'<0$ ). День 3 — касательная и угловой коэффициент. День 4 — первообразная и физический смысл. Каждый день решайте по 10–12 однотипных заданий, проговаривая нужную связку вслух.

Дни 5–7 — вперемешку и работа над ошибкой «f против f′»

Решайте задания всех типов вперемешку — главный навык здесь это сразу понять, что изображено: $f$ или $f'$ . Перед каждым заданием прочитайте подпись к графику вслух. После серии разбирайте ошибки на Repet.ai и следите за знаком в ответе.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 8 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень базовый, поэтому это обязательный к закрытию балл.

Точка максимума функции f — там, где график производной f'(x) пересекает ось абсцисс, меняя знак с плюса на минус (идёт сверху вниз через ось). Смена знака с минуса на плюс даёт точку минимума.

Это разные графики. Если дан график f(x), производная положительна там, где функция возрастает (график идёт вверх). Если дан график f'(x), его значения — это и есть производная, а экстремумы f ищут по пересечению оси. Всегда смотрите подпись к рисунку.

Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной: f'(x0) = Δy/Δx. Выберите на прямой две точки в узлах сетки и поделите изменение по вертикали на изменение по горизонтали. Если касательная убывает, ответ отрицательный.

Скорость — это производная пути по времени: v(t) = x'(t), а ускорение — производная скорости. Например, для x(t) = ½t² + 4t + 27 скорость v(t) = t + 4, и при t = 2 получаем v = 6 м/с.

F(x) — первообразная для f(x), если F'(x) = f(x). Поэтому по графику f(x) можно судить о первообразной F: где f положительна, F возрастает; где f меняет знак с плюса на минус — у F максимум.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 8 из открытого банка ФИПИ с графиками. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 8 на автомате?

Производная по графику — это предсказуемый балл первой части: всё держится на двух связках «знак производной → монотонность» и «значение производной → наклон касательной». На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 8 Назад: задание 7 Все задания ЕГЭ по математике