Задание №19 — Свойства чисел

Разбор задачи:
Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — его цифры. В десятичной записи это выглядит так: $100a + 10b + c$.
Согласно условию, первая цифра равна сумме двух последующих: $a = b + c$.
Также известно, что при делении данного числа на 5 и на 16 получается один и тот же остаток $r$.
Запишем это в виде системы уравнений:
$N = 5k + r$
$N = 16m + r$
Отсюда следует, что разность $N - r$ должна одновременно делиться и на 5, и на 16 без остатка.
Так как числа 5 и 16 взаимно простые, их наименьшее общее кратное $НОК(5, 16) = 80$.
Таким образом, наше число можно представить в виде: $N = 80t + r$, где $t$ — целое число, а $r$ — возможный остаток (от 0 до 4, так как при делении на 5 остаток всегда меньше делителя).
Нам нужно подобрать такое трёхзначное число, которое удовлетворяет условию $a = b + c$.
Рассмотрим подходящие варианты. Например, если взять $t = 4$, то $80 \cdot 4 = 320$. При остатке $r = 1$ получаем число 321.
Проверим его: цифра сотен $3$, сумма десятков и единиц $2 + 1 = 3$. Условие $3 = 2 + 1$ выполняется.

Ответ: 321

Источник: ФИПИ