Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Искомое число должно быть кратно 75. Разложим это число на множители: $75 = 3 \cdot 25$. Следовательно, число должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 25.
1) Согласно признаку делимости на 25, число может оканчиваться только на 00, 25, 50 или 75.
2) По условию произведение всех цифр числа должно находиться в диапазоне от 85 до 95. Если число заканчивается на 00 или 50, то произведение его цифр будет равно 0, что нам не подходит. Значит, возможны только варианты с окончанием 25 или 75.
Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 75:
Произведение последних двух цифр равно $7 \cdot 5 = 35$. Пусть произведение первых трёх цифр равно $P$. Тогда общее произведение цифр составит $35 \cdot P$.
Проверим условие: $85 < 35 \cdot P < 95$.
Разделив все части неравенства на 35, получим: $2{,}4 < P < 2{,}7$.
Так как произведение цифр $P$ обязано быть целым числом, данный вариант не имеет решений.
Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 25:
Произведение последних цифр равно $2 \cdot 5 = 10$. Пусть произведение первых трёх цифр равно $P$.
Тогда: $85 < 10 \cdot P < 95$.
Отсюда следует, что $8{,}5 < P < 9{,}5$. Единственное целое значение для $P$ — это 9.
Нам нужно подобрать такие первые три цифры, чтобы их произведение было равно 9, а сумма всех пяти цифр числа делилась на 3 (признак делимости на 3).
Возьмём цифры 9, 1 и 1. Их произведение $9 \cdot 1 \cdot 1 = 9$.
Проверим сумму цифр числа 91125: $9 + 1 + 1 + 2 + 5 = 18$. Число 18 делится на 3, значит, условие выполняется.
Таким образом, одним из подходящих чисел является 91125.

Ответ: 91125

Источник: ФИПИ