Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Искомое пятизначное число должно быть кратно 55. Поскольку $55 = 5 \cdot 11$, число обязано одновременно делиться и на 5, и на 11.
Вспомним соответствующие признаки делимости:
1) Чтобы число делилось на 5, оно должно завершаться цифрой 0 или 5.
2) Чтобы число делилось на 11, знакочередующаяся сумма его цифр (разность между суммами цифр, стоящих на нечётных и на чётных позициях) должна быть кратна 11 (например, 0, 11, -11 и т.д.).

Согласно условию, произведение всех цифр числа находится в диапазоне:
$$50 < a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e < 75$$ Если бы последняя цифра была 0, то всё произведение стало бы равным 0, что противоречит условию. Следовательно, последняя цифра числа — 5.
Подставим её в выражение для произведения:
$a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot 5$. Разделив границы условия на 5, получим ограничение для первых четырёх цифр:
$$10 < a \cdot b \cdot c \cdot d < 15$$ Таким образом, произведение первых четырёх цифр может быть равно только 11, 12, 13 или 14. Учитывая, что это произведение цифр, возможны следующие комбинации:
— Для 12: это наборы $\{1, 2, 2, 3\}$ или $\{1, 1, 2, 6\}$.
— Для 14: это набор $\{1, 1, 2, 7\}$.
(Числа 11 и 13 простые, их нельзя разложить на четыре цифры, отличные от единицы).

Попробуем составить наименьшее возможное число, используя эти цифры. Начнём с набора $\{1, 1, 2, 6\}$ и цифры 5 на конце. Самое маленькое число здесь — 11265.
Проверим его на делимость по признаку 11:
$(1 + 2 + 5) - (1 + 6) = 8 - 7 = 1$. На 11 не делится.

Перейдём к следующему набору цифр $\{1, 1, 2, 7\}$. Составим из них минимальное число с пятёркой в конце: 11275.
Выполним проверку делимости на 11:
Сумма цифр на нечётных местах: $1 + 2 + 5 = 8$.
Сумма цифр на чётных местах: $1 + 7 = 8$.
Разность: $8 - 8 = 0$. Число 0 делится на 11, значит, 11275 подходит под все условия задачи.

Ответ: 11275

Источник: ФИПИ