Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите трехзначное число, кратное 30, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Правильный ответ

240, 420

Пояснение

Решение:
Если число делится на 30, то оно одновременно должно быть кратно 10 и 3.
Признак делимости на 10 означает, что запись числа оканчивается цифрой 0.
Искомое число трёхзначное, и по условию все его цифры не повторяются. Таким образом, оно имеет вид $a b 0$ , где $a$ и $b$ — ненулевые различные цифры.
Согласно условию, сумма квадратов цифр должна быть кратна 4, но при этом не делиться на 16.
Для нашего числа эта сумма равна $a^{2} + b^{2} + 0^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Также, исходя из признака делимости на 3, сумма цифр $a + b + 0$ (то есть $a + b$ ) должна делиться на 3.
Рассмотрим возможные варианты, перебирая пары цифр, дающие в сумме число, кратное 3:
Для 120: $1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ — на 4 не делится.
Для 150: $1^{2} + 5^{2} = 1 + 25 = 26$ — на 4 не делится.
Для 180: $1^{2} + 8^{2} = 1 + 64 = 65$ — на 4 не делится.
Для 210: $2^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ — на 4 не делится.
Для 240: $2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ . Число 20 делится на 4, но не делится на 16. Это значение нам подходит.
Проверим выполнение всех условий для числа 240: оно делится на 30 ( $240 : 30 = 8$ ), все цифры (2, 4 и 0) различны.

Ответ: 240

Источник: ФИПИ