Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите трехзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 2, но не делится на 4. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Правильный ответ

350

Пояснение

Решение:
Для того чтобы число делилось на 70, оно должно одновременно быть кратным 7 и 10.
Признак делимости на 10 означает, что искомое число оканчивается на цифру 0.
По условию нам нужно найти трёхзначное число с разными цифрами, то есть оно имеет вид $ab0$ , где $a$ и $b$ — ненулевые и не равные друг другу цифры.
Рассмотрим условие про сумму квадратов цифр: она должна делиться на 2, но не на 4. Это означает, что при делении на 4 сумма $a^2 + b^2 + 0^2$ должна давать в остатке 2.
Обозначим цифры сотен и десятков как $a$ и $b$ . Тогда сумма квадратов равна $a^2 + b^2$ .
При этом само число $100a + 10b$ должно делиться на 7 (так как делимость на 10 мы уже обеспечили нулём в конце).
Проверим подходящие трёхзначные числа, кратные 70, методом перебора:
1) Для числа $140$ : сумма квадратов $1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$ . При делении на 4 остаток 1. Не подходит.
2) Для числа $210$ : сумма квадратов $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ . При делении на 4 остаток 1. Не подходит.
3) Для числа $280$ : сумма квадратов $2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68$ . Это число делится на 4 нацело (остаток 0). Не подходит.
4) Для числа $350$ : сумма квадратов $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ . Число 34 делится на 2, но при делении на 4 дает остаток 2 ( $34 = 4 \cdot 8 + 2$ ). Это соответствует условию.
Убедимся в выполнении остальных требований: число $350$ делится на 70 ( $350 : 70 = 5$ ), все его цифры (3, 5 и 0) различны.

Ответ: 350

Источник: ФИПИ