Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для того чтобы число делилось на 70, оно должно одновременно быть кратным 7 и 10.
Признак делимости на 10 означает, что искомое число оканчивается на цифру 0.
По условию нам нужно найти трёхзначное число с разными цифрами, то есть оно имеет вид $ab0$, где $a$ и $b$ — ненулевые и не равные друг другу цифры.
Рассмотрим условие про сумму квадратов цифр: она должна делиться на 2, но не на 4. Это означает, что при делении на 4 сумма $a^2 + b^2 + 0^2$ должна давать в остатке 2.
Обозначим цифры сотен и десятков как $a$ и $b$. Тогда сумма квадратов равна $a^2 + b^2$.
При этом само число $100a + 10b$ должно делиться на 7 (так как делимость на 10 мы уже обеспечили нулём в конце).
Проверим подходящие трёхзначные числа, кратные 70, методом перебора:
1) Для числа $140$: сумма квадратов $1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$. При делении на 4 остаток 1. Не подходит.
2) Для числа $210$: сумма квадратов $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. При делении на 4 остаток 1. Не подходит.
3) Для числа $280$: сумма квадратов $2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68$. Это число делится на 4 нацело (остаток 0). Не подходит.
4) Для числа $350$: сумма квадратов $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Число 34 делится на 2, но при делении на 4 дает остаток 2 ($34 = 4 \cdot 8 + 2$). Это соответствует условию.
Убедимся в выполнении остальных требований: число $350$ делится на 70 ($350 : 70 = 5$), все его цифры (3, 5 и 0) различны.

Ответ: 350

Источник: ФИПИ