Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Чтобы пятизначное число было кратно 15, оно должно одновременно удовлетворять двум признакам делимости: на 5 и на 3.
1) Согласно признаку делимости на 5, последняя цифра искомого числа — это либо 0, либо 5.
2) Согласно признаку делимости на 3, сумма всех цифр в записи числа должна быть кратна 3.
3) По условию задачи разность между любыми двумя стоящими рядом цифрами должна составлять ровно 3.
Рассмотрим случай, когда число завершается цифрой 0.
В таком случае четвёртая цифра может быть только 3 (так как $0 + 3 = 3$, а вариант $0 - 3$ невозможен для цифр).
Для простоты подбора возьмём комбинацию 30 ещё раз, чтобы обеспечить выполнение условия о разности соседних цифр. Получаем хвост числа: ...3030.
Проверим первую цифру: она должна отличаться от второй (тройки) на 3. Если мы возьмём цифру 6, то получим число 63030.
Проверим сумму цифр: $6 + 3 + 0 + 3 + 0 = 12$. Число 12 делится на 3, значит, всё число 63030 делится на 3. Условия кратности 5 и разности соседних цифр также соблюдены.

Ответ: 63030 / 63630 / 69630

Источник: ФИПИ