Разбор задачи:
Пусть $V_{t}$ — собственная скорость теплохода (в стоячей воде), измеряемая в км/ч.
По условию скорость течения реки составляет $1$ км/ч.

1. Анализ движения против течения:
Когда теплоход идет против течения, его итоговая скорость равна $V_{t} - 1$.
На этот путь судно затрачивает $t_{1} = 6$ часов.
Следовательно, расстояние $S$ можно выразить формулой:
$S = 6 \cdot (V_{t} - 1)$.

2. Анализ движения по течению:
При движении по направлению течения скорость теплохода увеличивается: $V_{t} + 1$.
Время в пути составляет 5 часов 15 минут. Переведем минуты в десятичную дробь: $15$ минут — это $\frac{15}{60} = 0{,}25$ часа. Значит, $t_{2} = 5{,}25$ часа.
То же самое расстояние $S$ запишется как:
$S = 5{,}25 \cdot (V_{t} + 1)$.

3. Поиск собственной скорости:
Так как расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, приравняем полученные выражения:
$6(V_{t} - 1) = 5{,}25(V_{t} + 1)$
Раскроем скобки:
$6V_{t} - 6 = 5{,}25V_{t} + 5{,}25$
Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую:
$6V_{t} - 5{,}25V_{t} = 6 + 5{,}25$
$0{,}75V_{t} = 11{,}25$
Разделив обе части на $0{,}75$, находим скорость в неподвижной воде:
$V_{t} = 15$ км/ч.

4. Вычисление времени в озере:
Сначала найдем пройденный путь $S$, подставив значение $V_{t}$ в любое из уравнений:
$S = 6 \cdot (15 - 1) = 6 \cdot 14 = 84$ км.
В озере течения нет, поэтому теплоход будет двигаться со своей собственной скоростью $15$ км/ч.
Время движения $t$ составит:
$t = \frac{S}{V_{t}} = \frac{84}{15} = 5{,}6$ ч.

Ответ: 5,6

Источник: ФИПИ