Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Нам требуется найти четырёхзначное число, которое удовлетворяет трём условиям: оно меньше 6000, кратно 45, а сумма его цифр составляет 27.

Разберём эти условия по порядку:
1) Чтобы число делилось на 45, оно должно одновременно делиться на 5 и на 9. Признак делимости на 5 означает, что последняя цифра числа — либо 0, либо 5. Однако, если последняя цифра будет 0, то сумма первых трёх цифр должна быть равна 27 ($27 - 0 = 27$), что возможно только для комбинации 9, 9, 9. Но число $9990$ больше 6000, что противоречит условию. Значит, число оканчивается на 5.
2) Пусть наше число имеет вид $\overline{abc5}$. По условию сумма цифр равна 27:
$$a + b + c + 5 = 27 \Rightarrow a + b + c = 22.$$
3) Так как число меньше 6000, первая цифра $a$ может принимать значения от 1 до 5.

Рассмотрим возможные варианты для первой цифры:
— Если $a = 4$, то сумма оставшихся цифр $b + c = 22 - 4 = 18$. Это возможно только при $b = 9$ и $c = 9$. Получаем число 4995.
— Если $a = 5$, то сумма $b + c = 22 - 5 = 17$. Это возможно, если цифры равны 8 и 9 в любом порядке. Получаем числа 5895 или 5985.

Все найденные числа (4995, 5895, 5985) также делятся на 9, так как сумма их цифр (27) кратна 9.

Ответ: 4995 / 5895 / 5985

Источник: ФИПИ