Разбор задачи:

1) Плоскость, проходящая параллельно оси цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Его сторонами являются хорда основания $AB$ и высота цилиндра $h$.
2) Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ — радиусы основания, треугольник является равнобедренным. Отрезок $OH$ представляет собой расстояние от оси до плоскости сечения, он является высотой и медианой в этом треугольнике.
3) Из прямоугольного треугольника $AOH$ (где $\angle H = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора найдем половину хорды:
$AH = \sqrt{OA^{2} - OH^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$.
Следовательно, длина всей стороны $AB$ равна:
$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$.
4) Теперь вычислим площадь искомого сечения как площадь прямоугольника:
$S_{сеч} = AB \cdot h = 24 \cdot 14 = 336$.

Ответ: 336

Источник: ФИПИ