Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}$. По условию оно должно делиться на $22$. Это означает, что число одновременно кратно и $2$, и $11$.
Также известно, что произведение его цифр равно $40$, то есть $a \cdot b \cdot c \cdot d = 40$.
Разложим число $40$ на множители, которые могут быть цифрами: например, $1, 4, 5, 2$. Проверим их на соответствие признаку делимости на $11$ (разность между суммами цифр на чётных и нечётных местах должна быть кратна $11$ или равна нулю).
Для комбинации цифр $1, 4, 5, 2$ заметим, что $1 + 5 = 4 + 2$, так как $6 = 6$. Следовательно, число, составленное из этих цифр в нужном порядке, будет делиться на $11$.
Чтобы число было чётным (делилось на $2$), оно должно оканчиваться на чётную цифру.
Подходящими вариантами являются числа: $1452$, $1518$ (если использовать набор цифр $1, 5, 1, 8$), $5412$, $1254$, $5214$. Все они удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 1452 / 1518 / 5412 / 1254 / 5214

Источник: ФИПИ