Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Пусть искомое четырёхзначное число $abcd$ равно результату деления куба некоторого натурального числа $m$ на $14$. Запишем это в виде уравнения: $$abcd = \frac{m^{3}}{14}$$ Так как число $abcd$ является четырёхзначным, оно должно находиться в диапазоне от $1000$ до $9999$. Составим двойное неравенство: $$1000 \leq \frac{m^{3}}{14} \leq 9999$$ Умножим все части неравенства на $14$, чтобы оценить возможные значения $m^{3}$: $$14000 \leq m^{3} \leq 139986$$ Поскольку $m$ — натуральное число, а результат деления $m^{3}$ на $14$ должен быть целым, то $m^{3}$ обязано делиться на $14$. Это означает, что в разложение числа $m$ должны входить простые множители $2$ и $7$, то есть $m$ кратно $14$. Рассмотрим последовательно значения $m$, кратные $14$:
1) Если $m = 14$, то $m^{3} = 14^{3} = 2744$. Это значение меньше $14000$, следовательно, оно не удовлетворяет условию.
2) Если $m = 28$, то $m^{3} = 28^{3} = 21952$. Данное число попадает в промежуток $[14000; 139986]$. Вычислим искомое число: $abcd = \frac{21952}{14} = 1568$.
3) Если $m = 42$, то $m^{3} = 42^{3} = 74088$. Это значение также входит в нужный диапазон. Находим число: $abcd = \frac{74088}{14} = 5292$.
4) Если $m = 56$, то $m^{3} = 56^{3} = 175616$. Это число больше $139986$, поэтому оно нам не подходит.

Ответ: 1568 / 5292

Источник: ФИПИ