Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Представим искомое четырёхзначное число в виде $\overline{abcd}$. Согласно условию задачи, сумма его цифр должна быть равна их произведению: $a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d$. Также известно, что число кратно 4, а значит, число, составленное из двух последних цифр ($\overline{cd}$), должно делиться на 4 без остатка. При этом ни одна из цифр не может быть нулём, иначе произведение станет равным 0, что невозможно для суммы положительных цифр.

Проанализируем возможный набор цифр. Если в числе будет три единицы, то сумма окажется больше произведения. Если же единица будет всего одна (или их не будет вовсе), произведение цифр начнёт стремительно расти и значительно превысит их сумму. Оптимальный вариант — наличие ровно двух единиц в записи числа.

Рассмотрим подходящие двузначные окончания, кратные 4, не содержащие нулей:
1) Если окончание 12: сумма цифр $c+d = 3$, произведение $c \cdot d = 2$. Чтобы равенство $a+b+3 = a \cdot b \cdot 2$ выполнялось, подберём оставшиеся цифры. Если одна из них 1, то $a+1+3 = a \cdot 1 \cdot 2$, откуда $a+4 = 2a$, то есть $a=4$. Получаем набор цифр {1, 4, 1, 2}. Из них можно составить числа 1412 и 4112.
2) Если окончание 16: сумма $c+d = 7$, произведение $c \cdot d = 6$. Уравнение $a+b+7 = 6ab$ не имеет подходящих решений в цифрах, кроме случая с единицами, который здесь не работает.
3) Если окончание 24: сумма $c+d = 6$, произведение $c \cdot d = 8$. Проверим вариант, когда остальные цифры — единицы: $1+1+2+4 = 8$ и $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$. Условие выполняется. Получаем число 1124.

Другие комбинации цифр приведут к тому, что произведение будет расти гораздо быстрее суммы.

Ответ: 4112 / 1412 / 1124

Источник: ФИПИ