Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для того чтобы искомое число было кратно 55, оно должно одновременно делиться на два взаимно простых множителя: 5 и 11. Согласно признаку делимости на 5, число обязано оканчиваться либо на 0, либо на 5. По условию задачи нам подходят только четные цифры (0, 2, 4, 6, 8), следовательно, последней цифрой нашего четырехзначного числа может быть только 0.

Признак делимости на 11 гласит: знакочередующаяся сумма цифр числа должна делиться на 11. Обозначим наше число как $abcd$. Так как $d = 0$, условие принимает вид: $a - b + c - 0$ кратно 11. Подберем подходящую комбинацию из оставшихся четных цифр (2, 4, 6, 8), чтобы они не повторялись. Например, возьмем цифры 4, 6 и 2. Проверим их: $4 - 6 + 2 = 0$. Число 0 делится на 11, значит, число 4620 подходит под все условия задачи.

Убедимся в правильности расчетов: $4620 : 55 = 84$. Аналогичным образом можно составить и другие варианты, такие как 2640, 6820 или 2860.

Ответ: 4620 / 2640 / 6820 / 2860

Источник: ФИПИ