Задание №21 — Задачи на логику

Решение.

Обозначим стороны малых прямоугольников. Пусть горизонтальные отрезки (ширины) левых прямоугольников равны $a$, а правых — $b$. Пусть вертикальные отрезки (высоты) верхних прямоугольников равны $c$, а нижних — $d$.

Тогда периметры четырёх прямоугольников выражаются следующими формулами:

• Левый верхний: $P_1 = 2(a + c) = 20$
• Правый верхний: $P_2 = 2(b + c) = 12$
• Правый нижний: $P_3 = 2(b + d) = 11$
• Левый нижний (искомый): $P_4 = 2(a + d) = ?$

Разделим каждое уравнение на 2, чтобы работать с суммами сторон:

1. $a + c = 10$
2. $b + c = 6$
3. $b + d = 5,5$
4. $a + d = \frac{P_4}{2}$

Заметим интересную закономерность: если мы сложим суммы сторон противоположных по диагонали прямоугольников (левого верхнего и правого нижнего), мы получим ту же сумму сторон, что и у другой пары (правого верхнего и левого нижнего):

$(a + c) + (b + d) = a + b + c + d$

$(b + c) + (a + d) = a + b + c + d$

Следовательно: $(a + c) + (b + d) = (b + c) + (a + d)$.

Подставим известные значения полупериметров:

$10 + 5,5 = 6 + \frac{P_4}{2}$

$15,5 = 6 + \frac{P_4}{2}$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$\frac{P_4}{2} = 15,5 - 6 = 9,5$

Теперь найдем периметр четвёртого прямоугольника:

$P_4 = 9,5 \cdot 2 = 19$

Ответ: 19

Источник: ФИПИ