Задание №19 — Свойства чисел

Решение:

Пусть искомое трехзначное число будет $n$, а остаток, о котором говорится в условии, обозначим через $x$. Исходя из условия, разность $n - x$ должна быть кратна одновременно и 4, и 15. Поскольку эти числа взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно $4 \cdot 15 = 60$. Следовательно, число можно представить в виде $n = 60k + x$. При этом остаток $x$ при делении на 4 может принимать только значения 1, 2 или 3 (так как по условию он не равен нулю).

Рассмотрим возможные случаи для $x$:

1) Если $x = 1$, то по условию сумма первых двух цифр числа $n$ должна быть равна 2. Возможные варианты для $n$: 201 или 111. Проверим делимость на 60: разности $201 - 1 = 200$ и $111 - 1 = 110$ на 60 нацело не делятся. Этот случай не подходит.

2) Если $x = 2$, то сумма первых двух цифр должна составлять 4. Проверим числа вида $n = \overline{ab2}$, где $a + b = 4$: это 402, 312, 222, 132. Вычтем остаток 2 и проверим кратность 60: числа 400, 310, 220 и 130 не кратны 60. Вариант не подходит.

3) Если $x = 3$, то сумма первых двух цифр равна 6. Искомое число имеет вид $n = \overline{ab3}$, где $a + b = 6$. Нам нужно, чтобы $n - 3$ делилось на 60. Этому условию удовлетворяют числа 603 ($600 : 60 = 10$), 423 ($420 : 60 = 7$) и 243 ($240 : 60 = 4$).

В качестве ответа можно выбрать любое из найденных чисел.

Ответ: 243 / 423 / 603

Источник: ФИПИ