Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Правильный ответ

243, 423, 603

Пояснение

Решение:

Пусть искомое трехзначное число будет $n$ , а остаток, о котором говорится в условии, обозначим через $x$ . Исходя из условия, разность $n - x$ должна быть кратна одновременно и 4, и 15. Поскольку эти числа взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно $4 \cdot 15 = 60$ . Следовательно, число можно представить в виде $n = 60k + x$ . При этом остаток $x$ при делении на 4 может принимать только значения 1, 2 или 3 (так как по условию он не равен нулю).

Рассмотрим возможные случаи для $x$ :

1) Если $x = 1$ , то по условию сумма первых двух цифр числа $n$ должна быть равна 2. Возможные варианты для $n$ : 201 или 111. Проверим делимость на 60: разности $201 - 1 = 200$ и $111 - 1 = 110$ на 60 нацело не делятся. Этот случай не подходит.

2) Если $x = 2$ , то сумма первых двух цифр должна составлять 4. Проверим числа вида $n = \overline{ab2}$ , где $a + b = 4$ : это 402, 312, 222, 132. Вычтем остаток 2 и проверим кратность 60: числа 400, 310, 220 и 130 не кратны 60. Вариант не подходит.

3) Если $x = 3$ , то сумма первых двух цифр равна 6. Искомое число имеет вид $n = \overline{ab3}$ , где $a + b = 6$ . Нам нужно, чтобы $n - 3$ делилось на 60. Этому условию удовлетворяют числа 603 ( $600 : 60 = 10$ ), 423 ( $420 : 60 = 7$ ) и 243 ( $240 : 60 = 4$ ).

В качестве ответа можно выбрать любое из найденных чисел.

Ответ: 243 / 423 / 603

Источник: ФИПИ