Задание №18 — Неравенства

Разбор задания:
А) Рассмотрим неравенство $x^{2} - 13x + 36 \geq 0$.
Для начала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^{2} - 13x + 36 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-13)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 = 5^{2}$.
Находим значения $x$:
$x_{1} = \frac{13 + 5}{2} = 9$;
$x_{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$.

Решением являются промежутки $x \leq 4$ и $x \geq 9$. Данному условию соответствует вариант под номером 2.

Б) Проанализируем неравенство $x^{2} + 13x + 36 \geq 0$.
Приравняем выражение к нулю: $x^{2} + 13x + 36 = 0$.
Дискриминант здесь такой же: $D = 13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25 = 5^{2}$.
Корни уравнения:
$x_{1} = \frac{-13 + 5}{2} = -4$;
$x_{2} = \frac{-13 - 5}{2} = -9$.

Область решения: $x \leq -9$ или $x \geq -4$. Это соответствует варианту 3.

В) Решим неравенство $x^{2} - 9x - 36 \leq 0$.
Найдём точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $x^{2} - 9x - 36 = 0$.
$D = (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^{2}$.
Корни:
$x_{1} = \frac{9 + 15}{2} = 12$;
$x_{2} = \frac{9 - 15}{2} = -3$.

Так как знак неравенства $\leq$, нам подходит отрезок между корнями: $-3 \leq x \leq 12$. Это вариант 1.

Г) Исследуем неравенство $x^{2} + 9x - 36 \leq 0$.
Найдём нули функции $x^{2} + 9x - 36 = 0$.
$D = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^{2}$.
Вычисляем корни:
$x_{1} = \frac{-9 + 15}{2} = 3$;
$x_{2} = \frac{-9 - 15}{2} = -12$.

Решением является интервал $-12 \leq x \leq 3$. Это вариант 4.

Ответ: 2314

Источник: ФИПИ