Задание №20 — Движение по воде

Задание №20

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 14 часов после этого следом за ним, со скоростью на 5 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Обозначим через $x$ (км/ч) скорость первого теплохода. Для систематизации данных составим таблицу:

	Скорость (км/ч)	Время (ч)	Расстояние (км)
1-й теплоход	$x$	$\frac{420}{x}$	420
2-й теплоход	$x + 5$	$\frac{420}{x + 5}$	420

По условию задачи второй теплоход прибыл в пункт назначения на 14 часов раньше первого. Это позволяет нам составить уравнение разности времени:

$\frac{420}{x} - \frac{420}{x + 5} = 14$

Учитывая, что скорость не может быть нулевой или отрицательной ( $x \neq 0$ , $x \neq -5$ ), приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{420(x + 5) - 420x}{x(x + 5)} = 14$
$420x + 2100 - 420x = 14x(x + 5)$
$2100 = 14x^2 + 70x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и разделим уравнение на $-14$ для упрощения расчетов:
$-14x^2 - 70x + 2100 = 0 \quad | : (-14)$
$x^2 + 5x - 150 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$

Получаем два значения:
$x_1 = \frac{-5 - 25}{2} = -15$ — данное значение не удовлетворяет условию задачи (скорость должна быть положительной).
$x_2 = \frac{-5 + 25}{2} = 10$ — скорость первого теплохода.

Нам необходимо найти скорость второго теплохода, которая на 5 км/ч больше:
$10 + 5 = 15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Задание №20