Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для того чтобы число было кратно 15, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: делиться на 3 и на 5. Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Признак делимости на 3 гласит, что сумма всех цифр числа должна делиться на 3 без остатка. Разложим произведение цифр искомого числа на множители. Чтобы произведение равнялось 60, можно использовать цифры 6, 5 и 2. Сумма этих трёх цифр составляет $6 + 5 + 2 = 13$. Чтобы пятизначное число делилось на 3, сумма всех пяти его цифр должна быть кратна 3. Ближайшее подходящее число — 15. Для того чтобы добрать сумму до 15, добавим две единицы (так как $13 + 1 + 1 = 15$, а произведение при этом не изменится: $6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 60$). Таким образом, наше число состоит из цифр 1, 1, 2, 5 и 6. Учитывая признак делимости на 5, цифра 5 обязательно должна стоять в конце числа. Остальные цифры (1, 1, 2, 6) можно расставить на первых четырёх позициях в любом порядке.

Ответ: 11265 / 11625 / 12165 / 12615 / 16125 / 16215 / 21165 / 21615 / 26115 / 61125 / 61215 / 62115 / 35220

Источник: ФИПИ