Задание №19 — Свойства чисел

Разбор задачи:
Согласно условию, нам необходимо найти трехзначное число, у которого сумма цифр составляет 20.
Выпишем возможные комбинации цифр, дающие в сумме 20:
$9, 9, 2;$
$9, 8, 3;$
$9, 7, 4;$
$9, 6, 5;$
$8, 8, 4;$
$8, 7, 5;$
$8, 6, 6;$
$7, 7, 6.$
Теперь проверим второе условие: сумма квадратов этих цифр должна быть кратна 3, но при этом не должна делиться на 9.
Проведем вычисления для каждого набора:
1) $9^2 + 9^2 + 2^2 = 81 + 81 + 4 = 166$ (на 3 не делится);
2) $9^2 + 8^2 + 3^2 = 81 + 64 + 9 = 154$ (на 3 не делится);
3) $9^2 + 7^2 + 4^2 = 81 + 49 + 16 = 146$ (на 3 не делится);
4) $9^2 + 6^2 + 5^2 = 81 + 36 + 25 = 142$ (на 3 не делится);
5) $8^2 + 8^2 + 4^2 = 64 + 64 + 16 = 144$ (делится на 3, так как $1+4+4=9$, но также делится и на 9 — не подходит);
6) $8^2 + 7^2 + 5^2 = 64 + 49 + 25 = 138$ (делится на 3, так как $1+3+8=12$, но не делится на 9 — подходит);
7) $8^2 + 6^2 + 6^2 = 64 + 36 + 36 = 136$ (на 3 не делится);
8) $7^2 + 7^2 + 6^2 = 49 + 49 + 36 = 134$ (на 3 не делится).
Таким образом, искомое число должно состоять из цифр 5, 7 и 8. Мы можем составить из них любую комбинацию.

Ответ: 578 (или любое другое: 587, 758, 785, 857, 875)

Источник: ФИПИ