Задание №16 — Тригонометрические выражения

Решение:

По условию угол $\alpha$ находится в четвёртой четверти: $\alpha \in \left( \frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi \right)$. Следовательно, синус этого угла принимает отрицательные значения. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для нахождения $\sin \alpha$:
$$\sin \alpha = - \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = - \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = - \sqrt{\frac{25}{169}} = - \frac{5}{13}$$

Теперь преобразуем искомое выражение $26 \cos \left( \frac{3 \pi}{2} + \alpha \right)$. Применим формулу косинуса суммы (или формулу приведения):
$$26 \cos \left( \frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) = 26 \left( \cos \frac{3 \pi}{2} \cos \alpha - \sin \frac{3 \pi}{2} \sin \alpha \right)$$

Подставим известные значения тригонометрических функций ($\cos \frac{3 \pi}{2} = 0$, $\sin \frac{3 \pi}{2} = -1$) и найденное значение $\sin \alpha$:
$$26 \left( 0 \cdot \frac{12}{13} - (-1) \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = 26 \cdot \left( - \frac{5}{13} \right) = - \frac{26 \cdot 5}{13} = -2 \cdot 5 = -10$$

Ответ: -10

Источник: ФИПИ