Решение:
Воспользуемся связью между тангенсом и косинусом через основное тригонометрическое тождество: $$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Подставим в это выражение известное значение $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{\sqrt{2}}$:
$$1 + \left( -\frac{4}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$1 + \frac{16}{2} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$1 + 8 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 9$$ Отсюда находим квадрат косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1}{9}$. Следовательно, $\cos \alpha = \pm \frac{1}{3}$.
Так как угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), значение косинуса должно быть отрицательным:
$\cos \alpha = -\frac{1}{3}$.
Теперь вычислим искомое значение выражения $\frac{1}{\cos \alpha}$:
$\frac{1}{-1/3} = -3$.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ