Задание №16 — Тригонометрические выражения

Решение:
Для нахождения значения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$.
Из этой формулы выразим квадрат синуса: $\sin ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha$.
Подставим известное значение косинуса в уравнение:
$$\sin ^{2} \alpha = 1 - \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13} \right)^{2} = 1 - \frac{4 \cdot 13}{169} = 1 - \frac{52}{169} = \frac{117}{169}.$$
Следовательно, $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{117}{169}} = \pm \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{13} = \pm \frac{3 \sqrt{13}}{13}$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в третьей четверти: $\alpha \in \left( \pi ; \frac{3 \pi}{2} \right)$. В этой четверти синус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем $\sin \alpha = - \frac{3 \sqrt{13}}{13}$.
Теперь вычислим тангенс угла, используя отношение синуса к косинусу:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \left( - \frac{3 \sqrt{13}}{13} \right) : \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13} \right) = \frac{3 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{13}{2 \sqrt{13}} = \frac{3}{2} = 1{,}5.$$

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ