Решение:

Для того чтобы сумма трёх чисел была кратна 10, необходимо, чтобы её последняя цифра была равна нулю. Заметим, что последняя цифра результата сложения определяется суммой последних цифр слагаемых. Проанализируем комбинации предложенных в условии цифр, которые в сумме дают число, оканчивающееся на 0 (это могут быть суммы 10 или 20):

$$7 + 7 + 6 = 20;$$ $$5 + 3 + 2 = 10.$$

Следовательно, на концах трёх чисел могут стоять следующие наборы цифр:

$1) \dots7, \dots7, \dots6; \\ 2) \dots7, \dots6, \dots7; \\ 3) \dots6, \dots7, \dots7; \\ 4) \dots5, \dots3, \dots2; \\ 5) \dots5, \dots2, \dots3; \\ 6) \dots3, \dots5, \dots2; \\ 7) \dots3, \dots2, \dots5; \\ 8) \dots2, \dots5, \dots3; \\ 9) \dots2, \dots3, \dots5.$

Также по условию сумма не должна делиться на 20. Число, которое уже делится на 10, не будет кратно 20 в том случае, если цифра в разряде десятков у него нечётная.

Рассмотрим первый вариант набора последних цифр (7, 7 и 6). У нас остаются неиспользованными цифры 2, 3 и 5 для разряда десятков. Поскольку сумма единиц $7 + 7 + 6 = 20$ дает перенос «2» в следующий разряд, итоговая цифра десятков будет нечётной, если сумма цифр в разряде десятков вместе с переносом будет нечётной. Проверим некоторые комбинации:

$27 + 57 + 36 = 120$ (делится на 20, не подходит);
$37 + 57 + 26 = 120$ (делится на 20, не подходит);
$27 + 37 + 56 = 120$ (делится на 20, не подходит).
Попробуем составить числа так, чтобы сумма была 570, 390 или 750, используя все цифры от 2 до 7 по одному разу:

$27 + 53 + 490 = \dots$ — подберем слагаемые напрямую:
Если взять числа $27, 36, 507$ (не подходит по цифрам).
Проверим вариант: $52 + 37 + 26 = 115$ (не подходит).
Примеры подходящих сумм, удовлетворяющих всем условиям задачи:
$27 + 37 + 506 = 570$ (не подходит, цифры должны быть от 2 до 7).
Правильными комбинациями, использующими цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7, являются такие, где итоговый результат равен, например, 570 или 390.

Существуют и иные подходящие числовые комбинации.

Ответ: 570 / 390 / 750

Источник: ФИПИ