Задание №21 — Свойства чисел

Решение:
Пусть искомое четырёхзначное число оканчивается на 5, то есть имеет вид $xyz5$. Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет выглядеть как $5zyx$. Согласно условию, разность между ними составляет 1458. Представим вычитание в виде столбика:
\begin{array}{r@{\quad}l} x y z 5 \\ - 5 z y x \\ \hline 1 4 5 8 \end{array}

Разберем вычитание по разрядам. В разряде единиц имеем $5 - x = 8$. Это возможно только в том случае, если мы заняли единицу в старшем разряде (у цифры $z$). Тогда $15 - x = 8$, откуда находим, что $x = 7$.

Подставим найденное значение $x$ в наше выражение:
\begin{array}{r@{\quad}l} 7 y z 5 \\ - 5 z y 7 \\ \hline 1 4 5 8 \end{array}

Обратим внимание на разряд тысяч: $7 - 5 = 2$. Однако в результате вычитания в этом разряде стоит единица. Это означает, что из семерки заняли единицу для выполнения вычитания в разряде сотен ($y - z$). Следовательно, $y < z$.

Теперь рассмотрим разряд десятков. Поскольку мы ранее занимали единицу у $z$, то вместо $z - y = 5$ мы получаем уравнение $(z - 1) - y = 5$. Из этого следует, что разность между цифрами $z$ и $y$ должна быть равна 6:
$$z - y = 6$$

Подберем возможные пары цифр, удовлетворяющие этому условию:
1) Если $y = 3$, то $z = 9$. Число: 7395.
2) Если $y = 2$, то $z = 8$. Число: 7285.
3) Если $y = 1$, то $z = 7$. Число: 7175.
4) Если $y = 0$, то $z = 6$. Число: 7065.

Все перечисленные варианты удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 7065 / 7175 / 7285 / 7395

Источник: ФИПИ