Решение:
Вспомним признак делимости на 25: число кратно 25, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 25 (это 00, 25, 50 или 75). Так как по условию все цифры искомого числа должны быть разными, вариант с окончанием на 00 нам не подходит.
Рассмотрим подходящие трёхзначные числа с неповторяющимися цифрами, оканчивающиеся на 25, 50 или 75. Для каждого из них вычислим сумму квадратов цифр и проверим выполнение условия: сумма должна быть кратна 3, но не кратна 9.
$125 \rightarrow 1^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 25 = 30.$ Число 30 делится на 3, но не на 9. Подходит.
$150 \rightarrow 1^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 26.$ Не делится на 3.
$175 \rightarrow 1^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 1 + 49 + 25 = 75.$ Делится на 3, не делится на 9. Подходит.
$250 \rightarrow 2^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 29.$ Не делится на 3.
$275 \rightarrow 2^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 4 + 49 + 25 = 78.$ Делится на 3, не делится на 9. Подходит.
$325 \rightarrow 3^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 38.$ Не делится на 3.
$350 \rightarrow 3^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 34.$ Не делится на 3.
$375 \rightarrow 3^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 83.$ Не делится на 3.
$425 \rightarrow 4^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 45.$ Делится и на 3, и на 9. Не подходит.
$450 \rightarrow 4^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 41.$ Не делится на 3.
$475 \rightarrow 4^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 90.$ Делится и на 3, и на 9. Не подходит.
$625 \rightarrow 6^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 65.$ Не делится на 3.
$650 \rightarrow 6^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 61.$ Не делится на 3.
$675 \rightarrow 6^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 110.$ Не делится на 3.
$725 \rightarrow 7^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 49 + 4 + 25 = 78.$ Делится на 3, не делится на 9. Подходит.
$750 \rightarrow 7^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 74.$ Не делится на 3.
$825 \rightarrow 8^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 64 + 4 + 25 = 93.$ Делится на 3, не делится на 9. Подходит.
$850 \rightarrow 8^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 89.$ Не делится на 3.
$875 \rightarrow 8^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 64 + 49 + 25 = 138.$ Делится на 3, не делится на 9. Подходит.
$925 \rightarrow 9^{2} + 2^{2} + 5^{2} = 110.$ Не делится на 3.
$950 \rightarrow 9^{2} + 5^{2} + 0^{2} = 106.$ Не делится на 3.
$975 \rightarrow 9^{2} + 7^{2} + 5^{2} = 155.$ Не делится на 3.

В итоге мы нашли несколько чисел, удовлетворяющих всем требованиям задачи: 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: 125 / 175 / 275 / 725 / 825 / 875

Источник: ФИПИ