Решение:
Для того чтобы четырехзначное число было кратно 44, оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 4 и на 11 (так как $44 = 4 \times 11$).

Согласно признаку делимости на 4, число, составленное из двух последних цифр искомого числа, должно делиться на 4. По условию задачи любые две соседние цифры отличаются ровно на 1. Это означает, что в числе не может быть нулей на конце одновременно (комбинация «00» невозможна), а также исключаются любые повторяющиеся цифры подряд.

Рассмотрим подходящие пары последних цифр, которые делятся на 4 и различаются на единицу: это могут быть 12, 32, 56, 76. Вариант 98 не подходит, так как 98 не делится на 4.

Применим признак делимости на 11: сумма цифр на нечётных позициях должна быть либо равна сумме цифр на чётных позициях, либо их разность должна быть кратна 11. Пусть наше число имеет вид $abcd$. Тогда должно выполняться условие: $(a + c) - (b + d) = 0$ или $\pm 11$.

Проверим возможные варианты, соблюдая условие разности соседних цифр в 1 единицу:
1) Если число оканчивается на 12, то возможны варианты 3212 или 1012. Проверим 3212: $3+1 = 4$ и $2+2 = 4$. Суммы равны, число подходит.
2) Если число оканчивается на 32, рассмотрим 1232: $1+3 = 4$ и $2+2 = 4$. Подходит.
3) Аналогично можно составить числа 3432, 5456, 5676, 7876 или 7656.

Все перечисленные числа удовлетворяют обоим условиям делимости и правилу чередования цифр.

Ответ: 3212 / 1232 / 1012 / 3432 / 5456 / 5676 / 7876 / 7656

Источник: ФИПИ