Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
1) Согласно условию, при делении искомого числа на 5 получается остаток 3. Это означает, что последняя цифра числа может быть либо 3, либо 8.
2) По условию задачи цифры в числе должны строго убывать. Если бы число заканчивалось на 8, то перед ней могла бы стоять только цифра 9. Однако в трехзначном числе с убывающими цифрами после 8 должны быть еще две позиции, что невозможно. Таким образом, число обязано заканчиваться на цифру 3.
3) Обозначим искомое число как $100x + 10y + 3$. Так как при делении на 4 и на 6 оно дает в остатке 3, то часть числа без последней цифры, то есть $100x + 10y$, должна делиться нацело и на 4, и на 6 одновременно.
4) Рассмотрим делимость на 4. Чтобы число $100x + 10y$ делилось на 4, необходимо, чтобы на 4 делилось двузначное число $10y$. Учитывая условие убывания цифр (где $y > 3$), подходящими значениями для $y$ будут 4, 6 или 8.
5) Теперь проверим условие делимости на 6. Для этого сумма цифр $x + y$ должна быть кратна 3 (так как $100x + 10y$ уже четное).
6) Проверим варианты:
— Если $y = 4$, то для выполнения условия убывания $x$ может быть от 5 до 9. Сумма $x + 4$ делится на 3 при $x = 5$ или $x = 8$. Число 543 не подходит, так как 540 не делится на 4. А вот для $x = 8$ получаем число 843 (840 делится и на 4, и на 6).
— Если $y = 6$, то $x$ может быть 7, 8 или 9. Сумма $x + 6$ кратна 3 при $x = 9$. Получаем число 963 (960 делится и на 4, и на 6).
— Если $y = 8$, то $x = 9$, но 980 не делится на 6.

Ответ: 843 / 963

Источник: ФИПИ