Решение:
Пусть искомое трехзначное число состоит из цифр $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, сумма этих цифр должна быть равна 20:
$$a + b + c = 20$$
Также известно, что сумма их квадратов $a^2 + b^2 + c^2$ кратна 3, но при этом не кратна 9.
Сначала определим все возможные комбинации из трех цифр, дающих в сумме 20. Заметим, что цифры 0 и 1 использовать нельзя, так как даже при максимальном значении остальных разрядов ($9 + 9 = 18$) мы не получим нужную сумму. Рассмотрим подходящие наборы:
$2, 9, 9$
$3, 8, 9$
$4, 7, 9$
$4, 8, 8$
$5, 7, 8$
$5, 6, 9$
$6, 7, 7$
$6, 6, 8$
Теперь проверим каждый набор на соответствие второму условию. Напомним, что число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3, и делится на 9, если сумма цифр кратна 9.
1) Для цифр $2, 9, 9$: $2^2 + 9^2 + 9^2 = 4 + 81 + 81 = 166$. Сумма цифр $1+6+6=13$ — на 3 не делится.

2) Для цифр $3, 8, 9$: $3^2 + 8^2 + 9^2 = 9 + 64 + 81 = 154$. Сумма цифр $1+5+4=10$ — на 3 не делится.

3) Для цифр $4, 7, 9$: $4^2 + 7^2 + 9^2 = 16 + 49 + 81 = 146$. Сумма цифр $1+4+6=11$ — на 3 не делится.

4) Для цифр $4, 8, 8$: $4^2 + 8^2 + 8^2 = 16 + 64 + 64 = 144$. Сумма цифр $1+4+4=9$ — делится и на 3, и на 9 (не подходит).

5) Для цифр $5, 7, 8$: $5^2 + 7^2 + 8^2 = 25 + 49 + 64 = 138$. Сумма цифр $1+3+8=12$ — делится на 3, но не делится на 9. Подходит!

6) Для цифр $5, 6, 9$: $5^2 + 6^2 + 9^2 = 25 + 36 + 81 = 142$. Сумма цифр $1+4+2=7$ — на 3 не делится.

7) Для цифр $6, 7, 7$: $6^2 + 7^2 + 7^2 = 36 + 49 + 49 = 134$. Сумма цифр $1+3+4=8$ — на 3 не делится.

8) Для цифр $6, 6, 8$: $6^2 + 6^2 + 8^2 = 36 + 36 + 64 = 136$. Сумма цифр $1+3+6=10$ — на 3 не делится.

Таким образом, условиям удовлетворяет только комбинация цифр 5, 7 и 8. Из них можно составить следующие трехзначные числа: 578, 587, 758, 785, 857, 875. Любое из этих чисел будет верным ответом.

Ответ: 578 / 587 / 758 / 785 / 857 / 875

Источник: ФИПИ