Решение:
Примем всё расстояние между пунктами за 2 условные единицы. Обозначим скорость первого автомобиля через $x$ км/ч. Тогда время, затраченное им на всю дорогу, составит $\frac{2}{x}$ ч.
Второй автомобиль преодолел путь в два этапа: первую половину он ехал со скоростью 15 км/ч (затратив $\frac{1}{15}$ ч), а вторую — со скоростью $x + 10$ км/ч (затратив $\frac{1}{x + 10}$ ч).
Так как автомобили прибыли в пункт назначения одновременно, составим уравнение баланса времени:
$$\frac{1}{15} + \frac{1}{x + 10} = \frac{2}{x}$$
Перенесем все слагаемые в одну сторону для приведения к общему знаменателю:
$$\frac{2}{x} - \frac{1}{15} - \frac{1}{x + 10} = 0$$
Общим знаменателем будет выражение $15x(x + 10)$. Преобразуем числитель:
$$\frac{30(x + 10) - x(x + 10) - 15x}{15x(x + 10)} = 0$$
Раскроем скобки в верхней части дроби:
$$\frac{30x + 300 - x^2 - 10x - 15x}{15x(x + 10)} = 0$$
Приведем подобные слагаемые:
$$\frac{-x^2 + 5x + 300}{15x(x + 10)} = 0$$
Учитывая, что скорость $x$ должна быть положительной ($x \neq 0$ и $x \neq -10$), приравняем числитель к нулю:
$$-x^2 + 5x + 300 = 0$$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства вычислений:
$$x^2 - 5x - 300 = 0$$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = -300$
Отсюда получаем два значения:
$x_1 = -15$ — данный корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.
$x_2 = 20$.
Таким образом, скорость первого автомобиля равна 20 км/ч.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ