Задание №18 — Неравенства

Разбор задания:
Проанализируем каждое неравенство по отдельности и сопоставим их с предложенными изображениями числовых прямых:

А) Рассмотрим неравенство $\left(x - 4\right) \left(x - 5\right) < 0$.
Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки:
1) $\begin{cases} x - 4 < 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 5 \end{cases}$ — решений нет.
2) $\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (4; 5)$.
Таким образом, решением является интервал $(4; 5)$. Это соответствует графику под номером 3. А — 3.

Б) Исследуем неравенство $\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} < 0$.
Поскольку квадрат $(x - 4)^2$ всегда неотрицателен, неравенство выполняется, если:
1) $\begin{cases} (x - 4)^2 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 4 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5)$.
Случай, когда $(x - 4)^2 < 0$, невозможен.
Итоговое решение: объединение луча и интервала, что изображено на рисунке 4. Б — 4.

В) Проанализируем дробное неравенство $\frac{(x - 5)^2}{x - 4} > 0$.
Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака. Так как $(x - 5)^2 \ge 0$, то:
1) $\begin{cases} (x - 5)^2 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 5 \\ x > 4 \end{cases} \Rightarrow x \in (4; 5) \cup (5; +\infty)$.
Случай с отрицательным числителем невозможен для квадрата.
Данному множеству точек соответствует рисунок 2. В — 2.

Г) Решим неравенство $\frac{x - 4}{x - 5} > 0$.
Дробь больше нуля, если знаки числителя и знаменателя совпадают:
1) Оба выражения положительны: $\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (5; +\infty)$.
2) Оба выражения отрицательны: $\begin{cases} x - 4 < 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$.
Объединяя эти промежутки, получаем $x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty)$, что показано на рисунке 1. Г — 1.

Запишем последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.

Ответ: 3421

Источник: ФИПИ