Задание №10 — Прикладная планиметрия

Решение:
 

Проанализируем движение рычага. Пусть отрезок $AC$ изображает положение «журавля» изначально, а $BD$ — после того, как его наклонили. Точка $O$ является точкой опоры. Короткое плечо поднялось на высоту $AH = 3$ м, а длинное плечо опустилось на искомую высоту $CK$.

Сначала докажем подобие треугольников $AOB$ и $COD$. Так как плечи при вращении не меняют своей длины, то $AO = BO$ и $OC = OD$. Это означает, что треугольники равнобедренные, и углы при их основаниях равны. Учитывая, что вертикальные углы при вершине $O$ равны ($\angle AOB = \angle COD$), получаем равенство всех углов в этих треугольниках: $\angle OAB = \angle OBA = \angle OCD = \angle ODC$. Следовательно, $\triangle AOB \sim \triangle COD$ по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению длин плеч: $\frac{OC}{AO} = \frac{4}{2} = 2$.

Заметим, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны. Из параллельности сторон следует равенство углов в прямоугольных треугольниках $AHB$ и $CDK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $AHB$ и $CDK$ также подобны. Из этого подобия вытекает, что отношение высот равно отношению гипотенуз: $$\frac{CK}{AH} = \frac{CD}{AB}$$ Поскольку из подобия первых треугольников $\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{AO} = 2$, подставим значения: $$CK = AH \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6.$$ Конец длинного плеча опустится на 6 метров.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ