Задание №12 — Четырехугольники

Решение:

1. В ромбе противоположные углы имеют одинаковую величину. Следовательно, если сумма двух таких углов составляет $240^{\circ}$, то каждый из них равен $240^{\circ} : 2 = 120^{\circ}$.

2. Обратимся к свойствам данной фигуры: диагонали ромба перпендикулярны друг другу, в точке пересечения они делятся ровно пополам, а также являются биссектрисами углов ромба.
3. Выделим прямоугольный треугольник, образованный пересечением диагоналей. Пусть $a$ — сторона ромба (гипотенуза), а $b$ — половина известной диагонали (катет). Угол между ними составит $120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$.
Используя определение косинуса, запишем: $\cos 60^{\circ} = \frac{b}{a}$.
Отсюда выразим сторону ромба: $a = \frac{b}{\cos 60^{\circ}}$.
Поскольку вся диагональ равна $24$, то её половина $b = 12$. Подставим значения, учитывая, что $\cos 60^{\circ} = 0,5$:
$$a = \frac{12}{1/2} = 12 \cdot 2 = 24.$$
Таким образом, сторона ромба равна $24$.
4. Чтобы найти периметр ромба, умножим длину его стороны на $4$:
$$P = 24 \cdot 4 = 96.$$

Ответ: 96

Источник: ФИПИ