Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Представим искомое четырехзначное число в виде $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, примет вид $\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a$.
Согласно условию, исходное число делится на 5. Это означает, что его последняя цифра $d$ может быть либо 0, либо 5. Однако $d$ не может быть нулем, так как в противном случае «обратное» число начиналось бы с нуля, что невозможно для четырехзначного числа. Следовательно, $d = 5$.
Составим уравнение разности по условию задачи:
$(1000a + 100b + 10c + 5) - (5000 + 100c + 10b + a) = 1548$
Упростим выражение, сгруппировав разряды:
$999a + 90b - 90c - 4995 = 1548$
$999a + 90(b - c) = 6543$
Проанализируем последнюю цифру разности. Чтобы при вычитании из 5 числа $a$ (с учетом возможного заимствования из старшего разряда) получить 8, необходимо, чтобы $15 - a = 8$. Отсюда находим первую цифру: $a = 7$.
Подставим значение $a$ в уравнение:
$999 \cdot 7 + 90(b - c) = 6543$
$6993 + 90(b - c) = 6543$
$90(b - c) = -450$
$b - c = -5$, что равносильно $c = b + 5$.
Теперь подберем возможные пары цифр $b$ и $c$, учитывая, что они должны быть от 0 до 9:
1) Если $b = 0$, то $c = 5$. Число — $7055$ (проверка: $7055 - 5507 = 1548$).
2) Если $b = 1$, то $c = 6$. Число — $7165$ (проверка: $7165 - 5617 = 1548$).
3) Если $b = 2$, то $c = 7$. Число — $7275$ (проверка: $7275 - 5727 = 1548$).
4) Если $b = 3$, то $c = 8$. Число — $7385$ (проверка: $7385 - 5837 = 1548$).
5) Если $b = 4$, то $c = 9$. Число — $7495$ (проверка: $7495 - 5947 = 1548$).
Таким образом, условию удовлетворяют числа 7055, 7165, 7275, 7385 или 7495.

Ответ: 7055 / 7165 / 7275 / 7385 / 7495

Источник: ФИПИ