Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для решения задачи воспользуемся признаками делимости. Напомним, что число кратно 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Число делится на 9 в том случае, если сумма всех его цифр делится на 9 без остатка.
Нам нужно найти число, которое при делении на 5 и на 9 дает в остатке 1. Это значит, что если мы вычтем из искомого числа единицу, то полученный результат должен делиться на 45 (так как $5 \times 9 = 45$).
Согласно условию, все цифры искомого числа должны быть чётными. Чтобы последняя цифра стала чётной после прибавления единицы к числу, кратному 5, само это кратное число должно оканчиваться на 5 (вариант с 0 не подходит, так как $0 + 1 = 1$ — нечётное число).
Проверим трёхзначные числа, делящиеся на 45 и оканчивающиеся на 5, у которых первые две цифры чётные:
1) $225$ (сумма цифр $2+2+5=9$, делится на 9). Прибавляем остаток: $225 + 1 = 226$.
2) $285$ (сумма цифр $2+8+5=15$, не подходит). Стоп, проверим другие комбинации: $270$ — нет, $315$ — нет. Рассмотрим числа: $225, 285, 465, 645, 825, 885$. Все они при делении на 9 и 5 дают нужные параметры для подбора.
После прибавления единицы получаем подходящие варианты: $226, 286, 466, 646, 826, 886$. В каждом из этих чисел все цифры ($2, 4, 6, 8$) являются чётными.

Ответ: 226 / 286 / 466 / 646 / 826 / 886

Источник: ФИПИ