Решение:
По условию задачи искомое двузначное число при делении на 2 дает в остатке 1. Это означает, что число должно быть нечетным, то есть обе его цифры по условию нечетные. Также число при делении на 3 должно давать остаток 1.
Вспомним признак делимости на 3: число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы получить остаток 1 при делении на 3, нужно рассмотреть числа вида $3k + 1$.
Проще всего сначала выписать числа, кратные 3, которые начинаются с нечетной цифры и заканчиваются четной цифрой (так как после прибавления единицы последняя цифра станет нечетной, что соответствует условию): 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96.
Теперь прибавим к каждому из этих значений 1, чтобы получить нужный остаток:
$$12+1=13;$$
$$18+1=19;$$
$$30+1=31;$$
$$36+1=37;$$
$$54+1=55;$$
$$72+1=73;$$
$$78+1=79;$$
$$90+1=91;$$
$$96+1=97.$$
Все полученные числа состоят только из нечетных цифр и удовлетворяют условию по остаткам.

Ответ: 13 / 19 / 31 / 37 / 55 / 73 / 79 / 91 / 97

Источник: ФИПИ