Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите четырехзначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 55, но меньше 65. В ответ укажите какое-нибудь одно такое число.

Правильный ответ

2325, 3225

Пояснение

Решение:
Разберём условия задачи. Число делится на 75, если оно кратно 3 и 25 одновременно. Согласно признаку делимости на 25, число должно завершаться цифрами 00, 25, 50 или 75. Однако варианты с нулём (00 и 50) нам не подходят, так как в этом случае произведение всех цифр станет равным 0, что противоречит условию (оно должно быть в интервале от 55 до 65). По признаку делимости на 3, сумма всех цифр искомого числа должна быть кратна 3.
Рассмотрим два возможных случая окончания числа:
1) Число оканчивается на 75. Тогда произведение последних цифр равно $7 \cdot 5 = 35$ . Чтобы общее произведение цифр $P$ находилось в границах $55 < P < 65$ , произведение первых двух цифр должно попадать в диапазон от $\frac{55}{35} \approx 1{,}57$ до $\frac{65}{35} \approx 1{,}86$ . Среди целых чисел таких значений нет, поэтому этот случай невозможен.
2) Число оканчивается на 25. Произведение последних цифр составляет $2 \cdot 5 = 10$ . Тогда произведение первых двух цифр должно быть больше $5{,}5$ ( $55 / 10$ ) и меньше $6{,}5$ ( $65 / 10$ ). Единственное целое число в этом промежутке — 6. Число 6 как произведение двух цифр можно представить как $1 \cdot 6$ или $2 \cdot 3$ .
Проверим сумму цифр для выполнения признака делимости на 3:
— Для цифр 1, 6, 2, 5 сумма равна $1 + 6 + 2 + 5 = 14$ (не делится на 3).
— Для цифр 2, 3, 2, 5 сумма равна $2 + 3 + 2 + 5 = 12$ (делится на 3).
Таким образом, искомыми числами могут быть 2325 или 3225.

Ответ: 2325 / 3225

Источник: ФИПИ