Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Разберём условия задачи. Число делится на 75, если оно кратно 3 и 25 одновременно. Согласно признаку делимости на 25, число должно завершаться цифрами 00, 25, 50 или 75. Однако варианты с нулём (00 и 50) нам не подходят, так как в этом случае произведение всех цифр станет равным 0, что противоречит условию (оно должно быть в интервале от 55 до 65). По признаку делимости на 3, сумма всех цифр искомого числа должна быть кратна 3.
Рассмотрим два возможных случая окончания числа:
1) Число оканчивается на 75. Тогда произведение последних цифр равно $7 \cdot 5 = 35$. Чтобы общее произведение цифр $P$ находилось в границах $55 < P < 65$, произведение первых двух цифр должно попадать в диапазон от $\frac{55}{35} \approx 1{,}57$ до $\frac{65}{35} \approx 1{,}86$. Среди целых чисел таких значений нет, поэтому этот случай невозможен.
2) Число оканчивается на 25. Произведение последних цифр составляет $2 \cdot 5 = 10$. Тогда произведение первых двух цифр должно быть больше $5{,}5$ ($55 / 10$) и меньше $6{,}5$ ($65 / 10$). Единственное целое число в этом промежутке — 6. Число 6 как произведение двух цифр можно представить как $1 \cdot 6$ или $2 \cdot 3$.
Проверим сумму цифр для выполнения признака делимости на 3:
— Для цифр 1, 6, 2, 5 сумма равна $1 + 6 + 2 + 5 = 14$ (не делится на 3).
— Для цифр 2, 3, 2, 5 сумма равна $2 + 3 + 2 + 5 = 12$ (делится на 3).
Таким образом, искомыми числами могут быть 2325 или 3225.

Ответ: 2325 / 3225

Источник: ФИПИ