Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Чтобы число делилось на 15, оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 5 одновременно. Согласно признаку делимости на 5, число должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Однако цифра 0 нам не подходит, так как в этом случае произведение всех цифр станет равным нулю, что противоречит условию задачи. Значит, последняя цифра искомого числа — 5.
По условию, произведение цифр находится в диапазоне от 85 до 95. Единственное целое число в этом интервале, которое делится на 5 (так как одна из цифр — 5), это 90. Разделим произведение на последнюю цифру: $90 : 5 = 18$. Таким образом, произведение первых трёх цифр должно быть равно 18.
Рассмотрим возможные комбинации цифр, дающие в произведении 18:
1) Цифры 2, 3, 3. Проверим сумму всех цифр числа: $2 + 3 + 3 + 5 = 13$. Число 13 не делится на 3, значит, этот вариант не подходит.
2) Цифры 1, 2, 9. Сумма цифр: $1 + 2 + 9 + 5 = 17$. На 3 не делится, вариант не подходит.
3) Цифры 1, 3, 6. Сумма цифр: $1 + 3 + 6 + 5 = 15$. Число 15 кратно 3, следовательно, любая комбинация этих цифр с пятеркой на конце будет делиться на 15.
Составим возможные варианты из набора цифр {1, 3, 6, 5}: 1365, 3615, 3165, 1635, 6315, 6135.

Ответ: 1365 / 3615 / 3165 / 1635 / 6315 / 6135

Источник: ФИПИ