Задание №12 — Четырехугольники

Решение:

По условию задачи в данном параллелограмме диагонали пересекаются под прямым углом. Это свойство указывает на то, что перед нами ромб. Известно, что у ромба диагонали делят его углы пополам, то есть служат биссектрисами.

Так как у ромба противоположные углы одинаковы, получаем: $\angle A = \angle C = 60^{\circ}$, а $\angle B = \angle D = 120^{\circ}$.

Теперь обратим внимание на треугольник $ABD$. Поскольку отрезок $BD$ является биссектрисой угла $B$, то $\angle ABD = 120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$. Аналогично, $\angle ADB = 120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$. Таким образом, в треугольнике $ABD$ все углы равны по $60^{\circ}$ (так как $\angle A = 60^{\circ}$ по условию), что делает его равносторонним.

Из равенства сторон треугольника следует, что сторона ромба $AB$ равна диагонали $BD$, то есть $AB = BD = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ