Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для того чтобы искомое четырёхзначное число было кратно 88, оно должно одновременно делиться на 8 и на 11. Вспомним признаки делимости:
1) Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делится на 8 (или если оно оканчивается тремя нулями).
2) Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях, и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, равна нулю или кратна 11.
По условию задачи в записи числа используются только различные чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.
Сначала определим возможные четвёрки цифр, из которых можно составить число, удовлетворяющее признаку делимости на 11. Сумма двух цифр должна быть равна сумме двух оставшихся (так как разность в 11 при использовании только чётных цифр недостижима).
Рассмотрим варианты:
— Набор {2, 4, 6, 8}: $2 + 8 = 4 + 6$ (подходит).
— Набор {0, 2, 6, 8}: $2 + 6 = 0 + 8$ (подходит).
— Набор {0, 2, 4, 6}: $2 + 4 = 0 + 6$ (подходит).
Остальные комбинации чётных цифр не позволяют получить равные суммы пар.
Теперь из выбранных наборов составим числа, кратные 11, располагая цифры так, чтобы суммы на чётных и нечётных местах совпадали: 2486, 2684, 8426, 8624, 4268, 6248, 4862, 6842, 2068, 2860, 6028, 6802, 8206, 8602, 2046, 2640, 4026, 4620, 6204, 6402.
Далее отберем среди них те, что делятся на 8. Для упрощения сначала проверим делимость на 4 (две последние цифры должны делиться на 4). Числа, оканчивающиеся на 86, 26, 62, 42, 02, 06, 46, не кратны 4, а значит, и 8.
Остаются кандидаты: 2684, 8624, 4268, 6248, 2068, 2860, 6028, 2640, 4620, 6204.
Проверим их на делимость на 8, исследуя последние три цифры:
$684 : 8$ — нет;
$624 : 8 = 78$ — да (число 8624 подходит);
$268 : 8$ — нет;
$248 : 8 = 31$ — да (число 6248 подходит);
$068 : 8$ — нет;
$860 : 8$ — нет;
$028 : 8$ — нет;
$640 : 8 = 80$ — да (число 2640 подходит);
$620 : 8$ — нет;
$204 : 8$ — нет.
Таким образом, условию удовлетворяют числа 8624, 6248 или 2640. В ответе достаточно указать любое одно из них.

Ответ: 8624 / 6248 / 2640

Источник: ФИПИ