Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Чтобы число было кратно 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4. Сформулируем условия:
1. Сумма всех цифр числа должна быть кратна 3.
2. Две последние цифры числа должны образовывать число, которое делится на 4 (из этого также следует, что число обязано быть четным).
Пусть наше четырехзначное число имеет вид $abcd$, где $a, b, c, d$ — его цифры ($a \neq 0$).
Согласно условию, произведение цифр $a \cdot b \cdot c \cdot d$ находится в интервале от 25 до 30. Среди целых чисел в этом промежутке (26, 27, 28, 29) только 28 может быть разложено на подходящие множители-цифры (так как 26 и 29 содержат простые множители больше 9, а 27 дает сумму цифр, не всегда кратную 3 при проверке четности).
Рассмотрим варианты разложения числа 28 на четыре множителя:
— Вариант 1: $28 = 7 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1$. Проверим сумму цифр: $7 + 4 + 1 + 1 = 13$. На 3 не делится, вариант не подходит.
— Вариант 2: $28 = 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$. Проверим сумму цифр: $7 + 2 + 2 + 1 = 12$. Число 12 делится на 3, значит, этот набор цифр нам подходит.
Теперь составим из цифр {7, 2, 2, 1} число, оканчивающееся на $cd$, которое делится на 4.
Возможные комбинации последних двух цифр:
— Если $d = 2$, то $c$ может быть 1 (число 12 делится на 4) или $c$ может быть 7 (число 72 делится на 4).
Если мы выбрали в качестве последних цифр 72, то на первых двух позициях ($ab$) могут стоять оставшиеся цифры 1 и 2 в любом порядке: 1272 или 2172.
Если мы выбрали в качестве последних цифр 12, то на первых двух позициях ($ab$) могут стоять цифры 7 и 2 в любом порядке: 7212 или 2712.
Все эти числа удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 1272 / 2172 / 2712 / 7212

Источник: ФИПИ