Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Для того чтобы число делилось на $33$, оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на $3$ и на $11$ (так как $33 = 3 \cdot 11$).

Сформулируем эти правила:
1) Число кратно $3$, если сумма всех его цифр делится на $3$.
2) Число кратно $11$, если разность между суммами цифр, стоящих на чётных и нечётных позициях, делится на $11$ (в частности, эта разность может быть равна $0$).

По условию задачи используются только нечётные цифры: $1, 3, 5, 7, 9$. Нам нужно выбрать четыре различные цифры из этого набора.
Проверим несколько комбинаций:

Попробуем цифры $1, 3, 5, 7$.
Проверка на $11$: $(1 + 7) - (3 + 5) = 0$. Условие выполняется, так как $0$ делится на $11$.
Проверка на $3$: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Число $16$ не делится на $3$, значит, этот набор не подходит.

Попробуем цифры $1, 3, 7, 9$.
Проверка на $11$: $(1 + 9) - (3 + 7) = 0$. Делится на $11$.
Проверка на $3$: $1 + 3 + 7 + 9 = 20$. Число $20$ не кратно $3$, набор не подходит.

Рассмотрим цифры $3, 5, 7, 9$.
Проверка на $11$: $(3 + 9) - (5 + 7) = 12 - 12 = 0$. Разность равна $0$, что кратно $11$.
Проверка на $3$: $3 + 5 + 7 + 9 = 24$. Сумма цифр равна $24$, она делится на $3$.
Данный набор цифр нам подходит. Составим из них число, соблюдая чередование для делимости на $11$, например, $7953$.

Ответ: 3597 / 3795 / 5379 / 5973 / 7359 / 7953 / 9537 / 9735

Источник: ФИПИ