Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Найдите четырёхзначное число, кратное 33, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Правильный ответ

3597, 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735

Пояснение

Решение:
Для того чтобы число делилось на $33$ , оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на $3$ и на $11$ (так как $33 = 3 \cdot 11$ ).

Сформулируем эти правила:
1) Число кратно $3$ , если сумма всех его цифр делится на $3$ .
2) Число кратно $11$ , если разность между суммами цифр, стоящих на чётных и нечётных позициях, делится на $11$ (в частности, эта разность может быть равна $0$ ).

По условию задачи используются только нечётные цифры: $1, 3, 5, 7, 9$ . Нам нужно выбрать четыре различные цифры из этого набора.
Проверим несколько комбинаций:

Попробуем цифры $1, 3, 5, 7$ .
Проверка на $11$ : $(1 + 7) - (3 + 5) = 0$ . Условие выполняется, так как $0$ делится на $11$ .
Проверка на $3$ : $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ . Число $16$ не делится на $3$ , значит, этот набор не подходит.

Попробуем цифры $1, 3, 7, 9$ .
Проверка на $11$ : $(1 + 9) - (3 + 7) = 0$ . Делится на $11$ .
Проверка на $3$ : $1 + 3 + 7 + 9 = 20$ . Число $20$ не кратно $3$ , набор не подходит.

Рассмотрим цифры $3, 5, 7, 9$ .
Проверка на $11$ : $(3 + 9) - (5 + 7) = 12 - 12 = 0$ . Разность равна $0$ , что кратно $11$ .
Проверка на $3$ : $3 + 5 + 7 + 9 = 24$ . Сумма цифр равна $24$ , она делится на $3$ .
Данный набор цифр нам подходит. Составим из них число, соблюдая чередование для делимости на $11$ , например, $7953$ .

Ответ: 3597 / 3795 / 5379 / 5973 / 7359 / 7953 / 9537 / 9735

Источник: ФИПИ