Задание №19 — Свойства чисел
Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите ровно одно такое число.
Правильный ответ
1125, 1215, 2115
Пояснение
Решение:
Для того чтобы искомое число делилось на 45, оно должно одновременно быть кратным 5 и 9. Из признака делимости на 5 следует, что последняя цифра числа — это 0 или 5. Однако цифра 0 не может входить в состав числа, так как в этом случае произведение всех его цифр обнулится, что противоречит условию. Значит, число оканчивается на 5.
Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. По условию задачи эта сумма должна быть ровно на 1 меньше, чем произведение тех же цифр. Попробуем подобрать минимальные цифры, чтобы удовлетворить этим требованиям. Рассмотрим комбинацию цифр 1, 1, 2 и 5. Проверим их сумму:
.
Сумма кратна 9, следовательно, любое число, составленное из этих цифр и оканчивающееся на 5, будет делиться на 45. Например, для числа 1125 имеем:
.
Теперь вычислим произведение цифр этого числа:
.
Мы видим, что произведение (10) действительно на 1 больше, чем сумма цифр (9). Таким образом, число 1125 полностью соответствует условию задачи.
Ответ: 1125
Источник: ФИПИ