Решение:
Обозначим через $x$ число верно решённых задач, через $y$ — количество ошибок (по условию $y \geq 1$), а через $z$ — число вопросов, оставленных без ответа. Всего в тесте было 25 заданий, поэтому справедливо равенство: $x + y + z = 25$.
Исходя из системы начисления баллов (7 за верный ответ, −10 за ошибку и 0 за пропуск), составим уравнение для итогового результата: $$7x - 10y + 0z = 42$$ Из этого выражения можно выразить член с $y$: $$10y = 7x - 42$$ Заметим, что правую часть уравнения можно разложить на множители: $10y = 7(x - 6)$. Поскольку правая часть кратна 7, то и левая часть $10y$ обязана делиться на 7. Так как числа 10 и 7 взаимно простые, на 7 должно делиться само число $y$.
Рассмотрим возможные значения $y$:
1) Если $y = 7$, подставим это значение в уравнение: $$10 \cdot 7 = 7x - 42 \Rightarrow 70 = 7x - 42 \Rightarrow 7x = 112 \Rightarrow x = 16$$ В этом случае количество пропущенных заданий составит $z = 25 - 16 - 7 = 2$. Данная ситуация возможна.
2) Если $y = 14$, подставим его в уравнение: $$10 \cdot 14 = 7x - 42 \Rightarrow 140 = 7x - 42 \Rightarrow 7x = 182 \Rightarrow x = 26$$ Однако общее количество заданий $x + y + z = 25$, а у нас только верных ответов получилось 26, что невозможно. При дальнейшем увеличении $y$ значение $x$ будет только расти, поэтому других решений нет.
Таким образом, ученик правильно ответил на 16 вопросов.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ