Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Представим искомое трёхзначное число в виде $xyz$, где $x$, $y$ и $z$ — его цифры (сотни, десятки и единицы соответственно).
Согласно условию, произведение этих цифр должно быть равно их сумме: $x \cdot y \cdot z = x + y + z$. Также само число $xyz$ должно делиться на 4 без остатка.
Заметим, что среди цифр не может быть нуля, так как тогда произведение станет нулевым, а сумма останется положительной. Кроме того, большинство цифр должны быть единицами, иначе произведение начнёт стремительно расти и превысит сумму. Следовательно, в записи числа должны присутствовать единицы (например, $x=1$ или $y=1$).
Вспомним признак делимости на 4: число кратно 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4. Рассмотрим варианты вида $x1z$. Возможные окончания: $12$ или $16$.
Если мы возьмём комбинацию с цифрой 6 ($x16$), произведение $6x$ будет значительно больше суммы $x+7$ при любых допустимых $x$.
Проверим вариант с окончанием $12$, то есть число вида $x12$:
$$x \cdot 1 \cdot 2 = x + 1 + 2$$
$$2x = x + 3$$
$$x = 3$$
Таким образом, мы нашли цифры числа: 3, 1 и 2. Условию кратности 4 удовлетворяют числа 312 (так как 12 делится на 4) и 132 (так как 32 делится на 4).

Ответ: 312 / 132

Источник: ФИПИ