Задание 19

Задачи на свойства чисел · 76 заданий

Задание №19
№19Лёгкое
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какое…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого являет…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Среднее
Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запиш…
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
Целые числа, делимость

Задание №19 — Свойства чисел

Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Правильный ответ

312, 132

Пояснение

Решение:
Представим искомое трёхзначное число в виде $xyz$ , где $x$ , $y$ и $z$ — его цифры (сотни, десятки и единицы соответственно).
Согласно условию, произведение этих цифр должно быть равно их сумме: $x \cdot y \cdot z = x + y + z$ . Также само число $xyz$ должно делиться на 4 без остатка.
Заметим, что среди цифр не может быть нуля, так как тогда произведение станет нулевым, а сумма останется положительной. Кроме того, большинство цифр должны быть единицами, иначе произведение начнёт стремительно расти и превысит сумму. Следовательно, в записи числа должны присутствовать единицы (например, $x=1$ или $y=1$ ).
Вспомним признак делимости на 4: число кратно 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4. Рассмотрим варианты вида $x1z$ . Возможные окончания: $12$ или $16$ .
Если мы возьмём комбинацию с цифрой 6 ( $x16$ ), произведение $6x$ будет значительно больше суммы $x+7$ при любых допустимых $x$ .
Проверим вариант с окончанием $12$ , то есть число вида $x12$ :
$x \cdot 1 \cdot 2 = x + 1 + 2$
$2x = x + 3$
$x = 3$
Таким образом, мы нашли цифры числа: 3, 1 и 2. Условию кратности 4 удовлетворяют числа 312 (так как 12 делится на 4) и 132 (так как 32 делится на 4).

Ответ: 312 / 132

Источник: ФИПИ