Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Представим искомое число в виде $abc$.
Проанализируем условие делимости суммы квадратов цифр $a^2 + b^2 + c^2$ на 4. Известно, что квадрат нечётного числа при делении на 4 всегда даёт в остатке 1, а квадрат чётного — 0. Чтобы их сумма делилась на 4, необходимо, чтобы сумма остатков была кратна 4. Это возможно только в случае, когда все три цифры $a, b, c$ являются чётными (сумма остатков $0 + 0 + 0 = 0$).
Пусть $a = 2A, b = 2B, c = 2C$, где $A, B, C$ — различные цифры от 0 до 4 (так как исходные цифры не превышают 9).
По условию сумма квадратов $a^2 + b^2 + c^2 = 4(A^2 + B^2 + C^2)$ не должна делиться на 16. Это означает, что выражение в скобках $(A^2 + B^2 + C^2)$ не должно быть кратно 4. Следовательно, среди чисел $A, B, C$ должно присутствовать хотя бы одно нечётное.
Согласно признаку делимости на 11, число $abc$ кратно 11, если разность $a - b + c$ делится на 11. Подставим наши обозначения: $2A - 2B + 2C = 2(A - B + C)$.
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы выражение $A - B + C$ было кратно 11. Учитывая, что $A, B, C$ принимают значения от 0 до 4, единственно возможный вариант — это $A - B + C = 0$, то есть $B = A + C$.
Так как число трёхзначное, первая цифра $a \neq 0$, значит $A > 0$. Также, поскольку все цифры различны, $C$ не может быть равно 0 (иначе $B = A$).
Проведём перебор возможных вариантов для $A$:
1) Если $A = 1$:
При $C = 2$ получаем $B = 3$. Исходные цифры: $a = 2, b = 6, c = 4$. Число — 264.
При $C = 3$ получаем $B = 4$. Исходные цифры: $a = 2, b = 8, c = 6$. Число — 286.
2) Если $A = 2$:
При $C = 1$ получаем $B = 3$. Исходные цифры: $a = 4, b = 6, c = 2$. Число — 462.
3) Если $A = 3$:
При $C = 1$ получаем $B = 4$. Исходные цифры: $a = 6, b = 8, c = 2$. Число — 682.

Ответ: 264 / 286 / 462 / 682

Источник: ФИПИ