Решение:
Для начала определим область допустимых значений. Поскольку выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, запишем условие:
$3 x + 5 > 0$
Откуда получаем: $x > - \frac{5}{3}$.
Теперь перейдем к решению самого уравнения:
$\log _{4} \left(3 x + 5\right) - \log _{4} \left(5\right) = 1$
Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием (заменим разность логарифмов на логарифм частного):
$\log _{4} \left(\frac{3 x + 5}{5}\right) = 1$
По определению логарифма имеем:
$\frac{3 x + 5}{5} = 4^{1}$
$\frac{3 x + 5}{5} = 4$
Умножим обе части уравнения на 5:
$3 x + 5 = 20$
Перенесем пятерку в правую часть:
$3 x = 15$
Разделим на 3:
$x = 5$.
Проверим корень: значение $5$ больше, чем $-\frac{5}{3}$, значит, найденное число удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ