Вариант 1 · Июль 2026

Ход решения:
1. Сначала вычислим общую массу лимонной кислоты, необходимую для 12 литров маринада. Так как на 1 литр расходуется 11 г, получаем: $$11 \cdot 12 = 132 \text{ г.}$$ 2. Теперь определим, сколько целых упаковок нужно купить. Разделим общую массу на вес одного пакетика (20 г): $$132 : 20 = 6{,}6.$$ 3. Поскольку в магазине продаются только целые пачки, полученное значение необходимо округлить в большую сторону. Шести штук будет недостаточно для соблюдения рецепта, следовательно, хозяйке придётся приобрести 7 пакетиков.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для решения задачи сопоставим предложенные события с наиболее подходящими временными интервалами:
А) Продолжительность одной серии телевизионного сериала обычно составляет около трёх четвертей часа, то есть 45 минут. Таким образом, А — 4.
Б) Время звучания стандартной музыкальной композиции (песни) составляет примерно 150 секунд (что равно двум с половиной минутам). Следовательно, Б — 1.
В) Из всех представленных величин горение обычной спички занимает меньше всего времени — всего 8 секунд. Значит, В — 2.
Г) Полный оборот нашей планеты вокруг Солнца (астрономический год) длится 365 суток. Получаем Г — 3.

Запишем цифры в таблицу под соответствующими буквами.

Ответ: 4123

Источник: ФИПИ

Решение:
1) Сперва установим цену деления вертикальной шкалы. Между отметками 0 и 5 находится пять промежутков, следовательно, одно деление соответствует $5 / 5 = 1$ градусу Цельсия.
2) Пользуясь графиком, найдем значение температуры для июня 2019 года. Оно на 4 деления выше отметки 15, то есть составляет $15 + 4 = 19$ градусов.
3) Аналогично определим показатель для июня 2018 года. Он выше отметки 15 на одно деление, что соответствует $15 + 1 = 16$ градусам.
4) Чтобы узнать, на сколько градусов было теплее в июне 2019 года по сравнению с июнем 2018 года, вычислим разность: $19 - 16 = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение:
$\underset{}{\sum} = ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 37 + 1 ) = 3 \cdot 4 \cdot 38 = 456 .$

Ответ: 456

Источник: ФИПИ

Решение:
1) Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой: $P = \frac{m}{n}$. В данном выражении $P$ обозначает искомую вероятность, $m$ — число вариантов, удовлетворяющих условию задачи, а $n$ — общее число всех возможных исходов.
2) Подставим значения из условия в формулу и произведём вычисления: $$P = \frac{8}{200} = \frac{4}{100} = 0{,}04.$$

Ответ: 0,04

Источник: ФИПИ

Решение:

Проанализируем затраты для каждого из двух доступных способов получения нужной ткани:

1) Приобретение готовой красной ткани. Для покупки $2{,}5$ метра материала по цене $100$ рублей за метр потребуется: $$100 \cdot 2{,}5 = 250 \text{ рублей.}$$

2) Покупка белой ткани с последующим окрашиванием.
Сначала вычислим стоимость самой ткани: $80 \cdot 2{,}5 = 200$ рублей.
Затем определим расходы на краситель. Поскольку один пакет краски позволяет обработать до $1{,}5$ метра ткани, для окраски $2{,}5$ метра одного пакета не хватит, и дизайнеру придётся купить два. Стоимость краски составит: $50 \cdot 2 = 100$ рублей.
Суммарные затраты во втором случае: $200 + 100 = 300$ рублей.

Сравнив полученные результаты ($250$ и $300$), мы видим, что наиболее экономным является первый вариант.

Ответ: 250

Источник: ФИПИ

Решение:
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Проанализируем наклон касательных в заданных точках:

1) В точке $A$ касательная образует с осью $Ox$ тупой угол. Следовательно, производная $f'(x_A)$ отрицательна. Сравнивая с предложенными значениями, выбираем самое маленькое: $f'(x_A) = -2$. Это соответствует варианту 1.

2) В точке $B$ угол наклона касательной острый, значит, $f'(x_B) > 0$. Угол наклона здесь меньше, чем в точке $C$, поэтому значение производной будет положительным, но небольшим: $f'(x_B) = 0{,}3$. Это соответствует варианту 3.

3) В точке $C$ касательная также наклонена под острым углом ($f'(x_C) > 0$), причём наклон здесь более крутой, чем в точке $B$. Значит, $f'(x_C) = 1{,}5$. Это соответствует варианту 4.

4) В точке $D$ касательная образует тупой угол, поэтому $f'(x_D) < 0$. Однако этот угол ближе к развёрнутому, чем в точке $A$, то есть убывание функции менее резкое. Выбираем значение $f'(x_D) = -0{,}5$. Это соответствует варианту 2.

Сопоставив точки и значения производных, получаем последовательность цифр: 1342.

Ответ: 1342

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Проанализируем предложенные утверждения на основе условий предоставления скидки:

1. Первое утверждение является верным, так как наличие скидки напрямую подтверждает, что установленный лимит накопленных баллов был успешно достигнут.
2. Второе утверждение также справедливо: если у клиента есть карта, но скидка не была предоставлена, это логически означает, что сумма баллов на его счету ещё не превысила необходимый порог.

Таким образом, оба этих вывода логически следуют из условия задачи.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Рассматривая карту, можно заметить, что территория Большого острова распределена по четырём неполным ячейкам сетки. _placeholder_if_any_was_here_but_none_in_source_so_keeping_logic⟧ Если визуально объединить все части суши этого острова в единое целое, то суммарная площадь составит примерно 1 полную клетку. Поскольку по условию размер одной клетки соответствует 1 га, искомая площадь равна 1 га.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение:

Для решения задачи выполним дополнительное построение: из верхней точки более низкой стены проведём горизонтальный отрезок к противоположной стене под прямым углом. Таким образом, мы выделим прямоугольный треугольник $ABC$.
В этом треугольнике катет $AB$ равен расстоянию между стенами, то есть $AB = 15$ м.
Второй катет $BC$ представляет собой разницу высот двух стен: $BC = 12 - 4 = 8$ м.
Искомое расстояние между верхними точками стен является гипотенузой $AC$. Воспользуемся теоремой Пифагора:
$$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{15^{2} + 8^{2}} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ м.}$$

Ответ: 17

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим два конуса: исходный (малый) и полный (большой). Поскольку уровень жидкости в малом конусе составляет одну треть от высоты большого, коэффициент подобия этих фигур равен $k = 3$.
Известно, что объёмы подобных тел соотносятся как куб коэффициента подобия. Таким образом, объём большого конуса в $3^3 = 27$ раз превышает объём малого.
Вычислим общий объём сосуда: $$V_{общ} = 20 \cdot 27 = 540 \text{ мл.}$$ Чтобы узнать, какое количество жидкости необходимо добавить, вычтем из общего объёма уже имеющийся объём воды: $$540 - 20 = 520 \text{ мл.}$$

Ответ: 520

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
1) Поскольку треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), все его внутренние углы равны между собой и составляют $60^{\circ}$. Таким образом, $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$.
2) Воспользуемся теоремой синусов для нахождения радиуса описанной окружности: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R$.
3) Выразим радиус $R$ из данной формулы и подставим известные значения: $$R = \frac{AC}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3.$$

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение:
Для нахождения объёма фигуры нам необходимо сначала определить её высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBB_{1}$, в котором высота $BB_{1}$ является одним из катетов. Воспользуемся теоремой Пифагора:
$h = BB_{1} = \sqrt{DB_{1}^{2} - DB^{2}}$
Подставим известные значения длин диагоналей в формулу:
$h = \sqrt{(5\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{41})^{2}} = \sqrt{50 - 41} = \sqrt{9} = 3$.
Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = 20$ и найденную высоту $h = 3$, вычислим искомый объём по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h = 20 \cdot 3 = 60$.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
Теперь найдем сумму чисел в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 24:
$- \frac{7}{8} + \frac{14}{3} = - \frac{7 \cdot 3}{24} + \frac{14 \cdot 8}{24} = - \frac{21}{24} + \frac{112}{24} = \frac{91}{24}$.
Запишем десятичное число $9{,}6$ как обыкновенную дробь: $9{,}6 = \frac{96}{10}$.
Завершим вычисления, перемножив полученные результаты:
$\frac{91}{24} \cdot \frac{96}{10} = \frac{91 \cdot 96}{24 \cdot 10} = \frac{91 \cdot 4}{10} = \frac{364}{10} = 36{,}4$.

Ответ: 36,4

Источник: ФИПИ

Решение:
$\frac{25 - 22}{25} \cdot 100 \% = \frac{3}{25} = 0{,}12 = 12 \% .$

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение:
$2 \log _{2} 2 + 3 \log _{3} \left(\frac{1}{3}\right) =$$2 \cdot 1 + 3 \log \left(\frac{1}{3}\right) =$$2 \cdot 1 + 3 \log _{3} \left(3\right)^{- 1} =$$2 + 3 \cdot \left(- 1\right) \cdot \log _{3} 3 =$$2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = - 1 .$

Ответ: -1

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для начала приведём исходное уравнение $x^{2} - 10 = 3x$ к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесём слагаемое $3x$ в левую часть с противоположным знаком:
$$x^{2} - 3x - 10 = 0$$ Найдём корни полученного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета. Согласно ей, сумма корней должна быть равна коэффициенту при $x$ с обратным знаком, а их произведение — свободному члену:
$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases}$$ Методом подбора определим значения: $x_{1} = -2$ и $x_{2} = 5$.
Проверим: $-2 + 5 = 3$ (верно) и $-2 \cdot 5 = -10$ (верно).
По условию задачи в ответ необходимо записать меньший из найденных корней. Сравнивая $-2$ и $5$, очевидно, что меньшим является $-2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для начала определим примерное значение переменной $m$. Число $- \sqrt{2}$ находится в интервале между $-2$ и $-1$, так как $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, следовательно, $m \approx -1{,}41$. Проанализируем каждое выражение, подставив это значение:

1) $2 m + 3 = 2 \cdot (-\sqrt{2}) + 3 \approx -2{,}82 + 3 = 0{,}18$. Данное значение попадает в интервал $A$.
2) $- \frac{2}{m} = - \frac{2}{-\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$. Это число соответствует точке $B$.
3) $m^{3} = (-\sqrt{2})^{3} = -2\sqrt{2} \approx -2 \cdot 1{,}41 = -2{,}82$. Значение находится левее всех остальных, что соответствует точке $C$.
4) $- \sqrt{-m} = - \sqrt{-(-\sqrt{2})} = - \sqrt{\sqrt{2}} \approx - \sqrt{1{,}41} \approx -1{,}19$. Это значение соответствует точке $D$.

Сопоставив полученные результаты с точками на координатной прямой, получаем последовательность цифр.

Ответ: 3412

Источник: ФИПИ

Решение:
Представим искомое четырехзначное число в виде $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, примет вид $\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a$.
Согласно условию, исходное число делится на 5. Это означает, что его последняя цифра $d$ может быть либо 0, либо 5. Однако $d$ не может быть нулем, так как в противном случае «обратное» число начиналось бы с нуля, что невозможно для четырехзначного числа. Следовательно, $d = 5$.
Составим уравнение разности по условию задачи:
$(1000a + 100b + 10c + 5) - (5000 + 100c + 10b + a) = 1548$
Упростим выражение, сгруппировав разряды:
$999a + 90b - 90c - 4995 = 1548$
$999a + 90(b - c) = 6543$
Проанализируем последнюю цифру разности. Чтобы при вычитании из 5 числа $a$ (с учетом возможного заимствования из старшего разряда) получить 8, необходимо, чтобы $15 - a = 8$. Отсюда находим первую цифру: $a = 7$.
Подставим значение $a$ в уравнение:
$999 \cdot 7 + 90(b - c) = 6543$
$6993 + 90(b - c) = 6543$
$90(b - c) = -450$
$b - c = -5$, что равносильно $c = b + 5$.
Теперь подберем возможные пары цифр $b$ и $c$, учитывая, что они должны быть от 0 до 9:
1) Если $b = 0$, то $c = 5$. Число — $7055$ (проверка: $7055 - 5507 = 1548$).
2) Если $b = 1$, то $c = 6$. Число — $7165$ (проверка: $7165 - 5617 = 1548$).
3) Если $b = 2$, то $c = 7$. Число — $7275$ (проверка: $7275 - 5727 = 1548$).
4) Если $b = 3$, то $c = 8$. Число — $7385$ (проверка: $7385 - 5837 = 1548$).
5) Если $b = 4$, то $c = 9$. Число — $7495$ (проверка: $7495 - 5947 = 1548$).
Таким образом, условию удовлетворяют числа 7055, 7165, 7275, 7385 или 7495.

Ответ: 7055 / 7165 / 7275 / 7385 / 7495

Источник: ФИПИ

Решение:

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (в стоячей воде). Учитывая, что скорость течения реки составляет 1 км/ч, составим таблицу для анализа движения:

	Путь (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	224	$x + 1$	$\frac{224}{x + 1}$
Против течения	224	$x - 1$	$\frac{224}{x - 1}$

Из условия задачи известно, что на путь против течения судно затрачивает на 2 часа больше времени, чем на путь по течению. Составим уравнение на основе разности времени:
$t_{пр. теч.} - t_{по теч.} = 2$
$\frac{224}{x - 1} - \frac{224}{x + 1} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\frac{224(x + 1) - 224(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
При условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$, приравняем числитель к нулю:

$224x + 224 - 224x + 224 - 2(x^2 - 1) = 0$
$448 - 2x^2 + 2 = 0$
$-2x^2 + 450 = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:
$x^2 - 225 = 0$
$x^2 = 225$
$x = 15$ или $x = -15$

Поскольку скорость объекта — величина положительная, нам подходит только значение $x = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение:
Поскольку Коля принял участие в 27 играх, мы понимаем, что всего было проведено как минимум 27 партий. С другой стороны, Миша выходил на корт 13 раз. По правилам смены игроков, один человек не может пропускать две игры подряд, а значит, Миша должен был участвовать как минимум в каждой второй партии. Это ограничивает общее количество игр сверху: их не могло быть больше, чем $13 \cdot 2 + 1 = 27$. Таким образом, единственно возможное общее число сыгранных партий равно 27.
Так как Миша участвовал в 13 из них, остальные $27 - 13 = 14$ партий приходятся на долю Лёши.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ