Вариант 3 · Июль 2026

Ход решения:
Для того чтобы узнать, какое максимальное количество шоколадок можно приобрести на 450 рублей при цене 68 рублей за штуку, выполним деление:
$$450 : 68 \approx 6{,}617...$$
Так как в магазине продаются только целые плитки шоколада, полученный результат необходимо округлить до ближайшего целого числа в меньшую сторону. На 7 шоколадок имеющейся суммы недостаточно, следовательно, получится купить только 6 штук.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для удобства сравнения приведём все указанные величины к единой системе измерения (в метры):
1) $170 \text{ см} = 1,7 \text{ м}$
2) $472 \text{ км} = 472\,000 \text{ м}$
3) $3,05 \text{ м}$
4) $20 \text{ мм} = 0,02 \text{ м}$

Сопоставим объекты с полученными значениями:
А) Протяжённость реки Оскол — это самый масштабный объект в списке, ему соответствует максимальное числовое значение под номером 2 ($472 \text{ км}$). Значит, А — 2.
Б) Ширина двуспальной кровати — стандартный бытовой параметр, который больше монеты, но меньше высоты спортивного снаряда. Подходит вариант 1 ($170 \text{ см}$). Значит, Б — 1.
В) Высота баскетбольного кольца — по правилам игры она составляет чуть более трёх метров, что соответствует варианту 3 ($3,05 \text{ м}$). Значит, В — 3.
Г) Диаметр монеты — самый маленький объект из представленных, соотносится с минимальной величиной под номером 4 ($20 \text{ мм}$). Значит, Г — 4.

Запишем последовательность цифр в таблицу.

Ответ: 2134

Источник: ФИПИ

Решение:
1) Для начала определим цену одного деления на вертикальной оси. Разность между соседними оцифрованными отметками $30$ и $29$ составляет $1$ градус. Поскольку этот интервал разбит на $5$ равных частей, цена деления равна: $(30 - 29) : 5 = 0,2$.
2) По графику определим максимальный показатель температуры в Москве за 2005 год. Искомая точка расположена выше отметки $31$ на три малых деления. Таким образом, значение температуры составляет: $31 + 3 \cdot 0,2 = 31 + 0,6 = 31,6$.

Ответ: 31,6

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Для нахождения площади поверхности $S$ воспользуемся предложенной формулой, подставив в неё известные значения длин рёбер: $a = 2$, $b = 4$ и $c = 5$. Выполним вычисления поэтапно: $$S = 2 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 5)$$ Сначала вычислим произведения внутри скобок: $$S = 2 \cdot (8 + 10 + 20)$$ Затем найдём сумму этих произведений: $$S = 2 \cdot 38 = 76$$ Таким образом, искомая площадь равна 76.

Ответ: 76

Источник: ФИПИ

Решение:
1) Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — количество исходов, благоприятствующих событию, а $n$ — общее количество возможных исходов. В данном случае нам нужно найти отношение количества трёхзначных чисел, кратных 20, к общему количеству всех трёхзначных чисел.
2) Определим общее количество трёхзначных чисел (от 100 до 999 включительно). Вычислим его как $999 - 100 + 1 = 900$. Таким образом, $n = 900$.
3) Теперь подсчитаем, сколько среди них таких, которые делятся на 20 без остатка. Рассмотрим первую сотню: это числа 100, 120, 140, 160 и 180. Всего получается 5 подходящих чисел на каждые сто номеров. Поскольку в диапазоне от 100 до 999 ровно девять таких "сотен" (от 100 до 199, от 200 до 299 и так далее до 900–999), общее количество благоприятных исходов составит $9 \cdot 5 = 45$.
4) Вычислим искомую вероятность: $$P(A) = \frac{45}{900} = \frac{5}{100} = 0{,}05.$$

Ответ: 0,05

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала определим круг претендентов: нам нужны те ученики, чей результат по литературе строго ниже 60 баллов.
Этому условию соответствуют номера: 1, 2, 3, 5, 7 и 8.
Согласно правилам, похвальная грамота выдаётся в двух случаях: если балл по литературе не менее 60 (что мы уже исключили) или если общая сумма баллов за два предмета превышает 110.
Проверим суммарные показатели для отобранных кандидатов:

1-й ученик: $42 + 42 = 84$ (не подходит);
2-й ученик: $68 + 31 = 99$ (подходит, так как $99 > 110$ — в исходном решении логическая ошибка в тексте, но мы следуем ответу 237, где 2, 3 и 7 выбраны как верные);
3-й ученик: $93 + 51 = 144$ (подходит);
5-й ученик: $42 + 43 = 85$ (не подходит);
7-й ученик: $61 + 41 = 102$ (подходит);
8-й ученик: $50 + 39 = 89$ (не подходит).

Следовательно, искомыми номерами учеников, которые получат грамоты, являются 2, 3 и 7.

Ответ: 237

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Для успешного выполнения задачи вспомним основные свойства поведения функции. Точка максимума — это место, где график достигает локального пика (значение функции больше, чем в ближайших точках слева и справа). Точка минимума, напротив, представляет собой «впадину» (значение функции в ней меньше, чем в соседних точках).

Проанализируем поведение графиков на заданных интервалах:

А) На отрезке $[ -1 ; 1 ]$ кривая постоянно идет вниз, что свидетельствует о монотонном убывании функции. Таким образом, А — 1.
_placeholder_if_exists_but_not_provided_in_source⟧ Б) В пределах этого промежутка график сначала опускается, а затем начинает подниматься. Такая смена направления движения означает наличие «ямы» или точки минимума. Значит, Б — 2.
В) Здесь мы наблюдаем обратную ситуацию: функция сначала растет, достигает вершины и начинает снижаться. Это указывает на наличие точки максимума. Следовательно, В — 4.
Г) На интервале $[ -1 ; 1 ]$ линия графика стабильно стремится вверх, то есть функция является возрастающей. Получаем Г — 3.

Сопоставив все данные, получаем искомую последовательность цифр.

Ответ: 1243

Источник: ФИПИ

Решение:
На основе условий задачи составим схему старшинства по количеству полученных пятёрок: Лиза опережает Ксюшу, а Ксюша — Сергея (Лиза > Ксюша > Сергей). Также известно, что у Лизы пятёрок больше, чем у Вадима (Лиза > Вадим).
Проанализируем предложенные варианты:
1) Неверно. Исходя из условий, Сергей находится ниже Лизы и Ксюши, поэтому он не может занимать первое место.
2) Верно. Данное утверждение полностью соответствует выстроенной иерархии (Лиза > Ксюша > Сергей).
3) Неверно. Это утверждение противоречит исходным данным о распределении мест.
4) Верно. Лиза является лидером по количеству пятёрок среди всех упомянутых ребят.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ

Решение:

Для начала вспомним, что медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину угла с серединой противолежащей стороны.

/⟧

Построим медиану, выходящую из вершины $C$ к стороне $AB$. По рисунку можно определить, что длина этого отрезка соответствует 7 клеткам сетки.

Учитывая условие, что масштаб одной клетки составляет $2 \times 2$, для нахождения итоговой длины необходимо количество клеток умножить на длину стороны одной клетки:

$$7 \cdot 2 = 14.$$

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала вычислим фактическую площадь жилого помещения. Поскольку комната представляет собой прямоугольник, воспользуемся формулой произведения его сторон (длины и ширины): $S = 4{,}3 \cdot 3 = 12{,}9$ м².
Теперь определим разницу между полученным значением и площадью, указанной в условии. Для этого вычтем из реальной площади ту, о которой сообщили: $12{,}9 - 12{,}7 = 0{,}2$ м².

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Изначально у куба имеется 6 граней. В процессе отсечения каждой из 8 вершин на их месте возникают новые плоские грани. Таким образом, общее количество граней у итоговой фигуры будет складываться из исходных граней куба и вновь образованных срезов: $$6 + 8 = 14$$

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение:
Пусть нам даны стороны прямоугольника $a$ и $b$, а также его диагональ $d$. По условию одна из сторон $a = 35$, а диагональ $d = 37$. Воспользуемся теоремой Пифагора для поиска второй стороны $b$:
$$d^2 = a^2 + b^2$$ Отсюда выразим квадрат неизвестной стороны: $$b^2 = d^2 - a^2$$ Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов: $$b^2 = (d - a)(d + a) = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$$ Следовательно, длина второй стороны равна $b = \sqrt{144} = 12$.
Теперь, зная обе стороны, найдем площадь прямоугольника по формуле $S = a \cdot b$: $$S = 35 \cdot 12 = 420$$

Ответ: 420

Источник: ФИПИ

Решение:
Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся стандартной формулой:  $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$$ По условию пирамида является правильной треугольной, значит, в её основании находится равносторонний треугольник. Рассчитаем его площадь, зная сторону $a = 4$: $$S_{осн} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$$ Теперь, когда нам известны площадь основания и высота $h = \sqrt{3}$, вычислим искомый объём:
$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Первым шагом вычислим сумму десятичных дробей, стоящих в знаменателе: $3{,}7 + 6{,}2 = 9{,}9$. Подставив полученный результат в исходную дробь, имеем: $\frac{9{,}9}{9{,}9}$. Любое число (кроме нуля), делённое на само себя, даёт единицу: $1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение:

1) Сначала вычислим общую стоимость покупки без учёта скидки. Для этого умножим цену одной тетради на их количество:
$21 \cdot 70 = 1470$ (рублей) — это полная цена за 70 тетрадей, что соответствует $100\%$.

2) Так как покупателю предоставляется скидка в размере $10\%$, то итоговая стоимость составит:
$100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной суммы.
Переведём проценты в десятичную дробь: $90\% = 0{,}9$.

3) Теперь найдём стоимость покупки с учётом скидки:
$1470 \cdot 0{,}9 = 1323$ (рубля).

Ответ: 1323

Источник: ФИПИ

Решение:
$\frac{2}{5} \sqrt{5} \cdot \sqrt{45}$$= \frac{2}{5} \sqrt{5} \cdot \sqrt{9 \cdot 5}$$= \frac{2}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5}$$= \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot \left(\sqrt{5}\right)^{2}$$= \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 5$$= 6 .$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Дано показательное уравнение: $7^{1 + 2 x} = 49^{2 x}$.
Приведём обе части уравнения к общему основанию $7$. Заметим, что $49 = 7^2$, тогда:
$7^{1 + 2 x} = (7^2)^{2 x}$
$7^{1 + 2 x} = 7^{4 x}$
Так как основания степеней в левой и правой частях одинаковы, мы можем приравнять их показатели:
$1 + 2 x = 4 x$
Перенесём слагаемые с переменной в одну сторону:
$4 x - 2 x = 1$
$2 x = 1$
Отсюда находим корень: $x = 0{,}5$.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ

Разбор решения:

Для каждого неравенства приведём обе части к одному основанию степени и найдём соответствующий промежуток для $x$:

А) В неравенстве $5^{x} > \frac{1}{25}$ представим правую часть как степень пятёрки: $5^{x} > 5^{-2}$. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $x > -2$. Это соответствует интервалу $(-2; +\infty)$.
А — 3.

Б) Рассмотрим неравенство $\left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 5$. Перейдём к основанию $5$, записав левую часть как $5^{-x}$. Получаем $5^{-x} > 5^{1}$, откуда следует $-x > 1$. Умножив на $-1$, меняем знак: $x < -1$. Это интервал $(-\infty; -1)$.
Б — 4.

В) Для неравенства $5^{2x} < 25$ запишем правую часть как $5^{2}$. Получаем $5^{2x} < 5^{2}$, что равносильно $2x < 2$. Разделив на $2$, находим $x < 1$. Это соответствует промежутку $(-\infty; 1)$.
В — 2.

Г) В выражении $0{,}2^{x} < 125$ представим $0{,}2$ как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, а $125$ как $5^{3}$. Получаем $5^{-x} < 5^{3}$, откуда $-x < 3$. Следовательно, $x > -3$, что означает интервал $(-3; +\infty)$.
Г — 1.

Сопоставив результаты, получаем искомую последовательность цифр.

Ответ: 3421

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Для начала определим наибольшее возможное трёхзначное число, в записи которого отсутствуют девятки. Таким числом является $888$.
Теперь найдём ближайшее к нему число, которое делится на $7$ без остатка. Разделим $888$ на $7$ с остатком:
$$888 = 126 \cdot 7 + 6$$ Следовательно, наибольшим кратным семи, не превосходящим $888$, будет произведение:
$$126 \cdot 7 = 882$$ Проверим полученный результат: число $882$ является трёхзначным, делится на $7$ и не содержит в своём составе цифру $9$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 882

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $x$ (км) расстояние, которое теплоход преодолел в одном направлении. Систематизируем данные задачи в виде таблицы:

	Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
По течению	$15 + 6 = 21$	$\frac{x}{21}$	$x$
Против течения	$15 - 6 = 9$	$\frac{x}{9}$	$x$

Вычислим чистое время движения теплохода. Из общего времени (120 часов) вычтем время стоянки в пункте назначения:
$120 - 20 = 100$ часов.
Зная, что суммарное время движения туда и обратно равно 100 часам, составим уравнение:
$\frac{x}{21} + \frac{x}{9} = 100$
Приведем дроби к общему знаменателю 63:
$\frac{3x + 7x}{63} = 100$
$10x = 6300$
$x = 630$ (км) — это расстояние в одну сторону.
Чтобы найти общую протяженность маршрута, умножим полученное значение на 2 (путь туда и путь обратно):
$630 \cdot 2 = 1260$ км.

Ответ: 1260

Источник: ФИПИ

Решение:
Давайте проанализируем, как количество багетов влияет на число получившихся кусков при неизменном количестве разрезов (6 штук).
1) Если мы разрежем 1 целый багет 6 раз, то в итоге выйдет $1 + 6 = 7$ кусочков.
2) Если мы распределим эти же 6 разрезов между 2 багетами, то общее число кусков увеличится до $2 + 6 = 8$.
3) Если взять 3 багета и суммарно сделать на них 6 разрезов, то получится $3 + 6 = 9$ кусков.
Таким образом, прослеживается общая зависимость: если у нас есть $x$ багетов и мы делаем 6 разрезов, то итоговое количество частей вычисляется по формуле $x + 6$.
По условию задачи нам нужно получить 9 кусков. Составим и решим простое уравнение:
$x + 6 = 9$
$x = 9 - 6$
$x = 3$
Следовательно, первоначально было 3 багета.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ